Errores al encontrar puntos de inflexión: segunda derivada indefinida

a roberto se le pidió determinar dónde gtx igual a la raíz cúbica de x tienen puntos de inflexión está su respuesta y bien aquí tenemos tres pasos y después nos preguntan es correcto el procedimiento de roberto si no es así cuál es su error así que pausa el vídeo e intenta encontrar la respuesta bien vamos a trabajarlo juntos sabemos que la función g de x es la raíz cúbica de x déjame ponerlo que de x es lo mismo que la raíz cúbica de x que también lo podemos ver como x elevado a la un tercio y en el primer paso lo que está siendo roberto es sacar la primera derivada y la segunda derivada la primera derivada se saca al usar la regla de la potencia la primera derivada la obtengo bajando este exponente y entonces me quedaría un tercio que multiplica a x elevado a la un tercio menos uno lo cual es menos dos tercios así que la primera derivada es correcta y después la segunda derivada le obtengo de la siguiente manera otra vez aplicando la regla de la potencia como este menos dos tercios y lo paso multiplicando a este un tercio y me quedan menos dos novenos de x elevado a la menos dos tercios menos uno lo cual es menos cinco tercios y luego parece que roberto lo reescribió de tal manera que aquí sigo con mis menos dos novenos y puedo reconocer que esto es lo mismo que x elevado a las cinco tercios en el denominador cinco tercios positivos x elevado a las 5 tercios positivos en el denominador es lo mismo que la raíz cúbica de x elevado a las 5 así que todo parece correcto esto también es correcto y por lo tanto puedo decir que el paso 1 es correcto de lujo ahora en el paso 2 roberto está buscando las soluciones en donde la segunda derivada + sea igual a cero y en efecto es cierto que esta igualdad no tiene soluciones nunca puedes hacer esta segunda derivada igual a cero entonces eso es cierto observa para que esto fuera igual a cero tendrías que tener el numerador igual a cero y bueno dos nunca será cero por lo tanto el paso 2 también es correcto y ahora veamos el paso 3 que no tiene puntos de inflexión esto me parece un poco sospechoso como hemos dicho en muchos casos los puntos de inflexión se encuentran cuando la segunda derivada es igual a cero e incluso al hacer la segunda derivada igual a cero no tenemos la certeza de que sea un punto de inflexión es un candidato a hacer un punto de inflexión recuerda debes comprobar que la segunda derivada en efecto cambie de signo o que cruce el eje x ya dijimos que aquí no podemos encontrar ninguna equis que haga la segunda derivada de igual a cero pero hay que recordar que hay otro candidato para nuestro punto de inflexión ese otro candidato se encuentra cuando la segunda derivada es indefinida y por lo tanto no podemos hacer esta afirmación del paso 3 sin buscar en donde la segunda derivada es indefinida así que podemos decir por acá que mi prima es indefinida es decir la segunda derivada es indefinida cuando bueno veamos cuando que es igual a cero cuando x es igual a 0 porque observa 0 elevado a la quinta potencia 0 la raíz cúbica de 0 es cero y entonces mi denominador es cero lo que hace que la segunda derivada sea indefinida que es justo lo que buscamos y entonces x igual a cero es mi candidato a hacer un punto de inflexión entonces déjame anotarlo eso es importante esto nos dice que x igual a cero un candidato a punto de inflexión a punto de inflexión y ahora necesitamos probar cuánto vale la segunda derivada alrededor de él y para eso hagamos una tabla mi primera columna será la de intervalo o intervalos en este caso voy a tener dos intervalos la segunda base del valor a probar y recuerda hay que tener cuidado con quién será nuestro representante en cada intervalo y después tengo el signo de la segunda derivada es decir el signo de javi prima y por último pondré en la concavidad de g y para que el 0 sea nuestro punto de inflexión lo que tiene que pasar es que la segunda derivada cambie de signo en cada uno de los intervalos que voy a poner aquí lo que significaría que la concavidad está cambiando en cada intervalo nuestro primer intervalo van a ser los números menores que 0 entonces va a ser el intervalo de menos infinito hasta 0 ok y el segundo intervalo van a ser los números mayores que 0 así que va a ser el intervalo desde cero hasta infinito necesito un valor en cada intervalo para probar así que voy a tomar como representante aquí al menos uno de aquí al 1 recuerda que debes tener cuidado cuando uses estos valores a probar ya que debes estar seguro que estás lo suficientemente cerca para que nada inusual pase entre los valores que estás probando y los candidatos a puntos de inflexión en no te vayas a confundir de intervalo bien y ahora cuál es el signo de la segunda derivada bueno cuál es el signo de la segunda derivada cuando x es igual a menos 1 aquí me quedarían menos una elevado a la quinta potencia lo cual es menos 1 y por lo tanto tendremos la raíz cúbica de menos 1 lo cual también es menos 1 y entonces me quedan menos dos novenos que está dividido por menos uno lo cual es dos novenos positivos por lo tanto mi signo en el primer intervalo será positivo y de hecho para cualquier número que te tomes en este primer intervalo el signo de la segunda derivada va a ser positivo observa un número negativo elevado a la quinta potencia es un número negativo y la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo y después menos dos novenos entre un número negativo me va a dar un número por lo tanto el signo de la segunda derivada en el primer intervalo ya podemos asegurar que es positivo bien pensamos que pasa en el segundo intervalo si tomó cualquier número positivo voy a obtener aquí un número positivo elevado a la quinta potencia lo cual será positivo la raíz cúbica de un número positivo es positivo y después menos dos novenos entre un número positivo me va a dar algo negativo por lo tanto ya tengo los signos de mi segunda derivada así que en efecto estamos en el caso donde nuestra segunda derivada cambiar de signo cuando cruzamos el valor de x igual a cero es más déjeme anotar lo que vi prima cambia de signo cuando cruzamos el valor de que es igual a cero y además la función no está definida en x igual a cero eso es importante entonces voy a escribir que gm está definida en x igual a cero ok y eso nos está diciendo que la concavidad en el primer intervalo es una concavidad asia déjame ponerlo esto porque si no en la segunda derivada es positivo y tenemos una concavidad hacia abajo déjame ponerlo en el segundo intervalo porque el signo de mi segunda derivada es negativo y entonces esto todo esto nos está diciendo que en efecto tenemos un punto de inflexión en x igual a 0 entonces déjame ponerlo x igual a 0 es un punto de inflexión y si estás familiarizado con la función de la raíz cúbica de x podrás ver que en efecto tienes un punto de inflexión en x igual a 0 así que ya podemos concluir el procedimiento de roberto fue erróneo tuvo un error en el paso 3 ya que si existe un punto de inflexión el cual no hace la segunda derivada de igual a 0 pero es un punto en donde la segunda derivada es indefinida así que hemos terminado espero que lo hayas disfrutado