Método de cambio de variable: definir 𝘶 (más ejemplos)

lo que vamos a hacer en este vídeo es obtener más práctica para saber cuándo usar la sustitución 1 y cómo elegir una apropiada así que tomemos la integral indefinida del a logaritmo natural de x ok esto elevado a la potencia 10 y todo eso entre x de x podemos aplicar aquí la sustitución 1 y si es así cuál sería nuestra bueno la clave de la sustitución y es pensar en si tenemos una función y su derivada dentro de la integral y te seguro vas a reconocer de manera rápida que la derivada del logaritmo natural de x es 1 / x el más para que sea más claro voy a escribir esto como la integral del logaritmo natural de x esto elevado la potencia 10 x 1 / x x de x ahora lo tengo más claro aquí hay una función el logaritmo natural de x elevado a la décima potencia multiplicado por su derivada así que podemos usar una sustitución o podemos decir que uno es igual al logaritmo natural de x y si te preguntas por qué elegía el logaritmo natural de x como nostrum fue porque tenemos aquí multiplicando a su derivada o algo cercano a su derivada y por lo tanto puedo decir la derivada de o con respecto a x es 1 / x si vemos esto como diferenciales podemos escribirlo como la derivada de uno es igual a 1 entre x por de x por lo que este de aquí es justo de un y este de aquí es nuestra 1 entonces esto se simplifica como la integral de elevado a la décima potencia de y de modo que aquí puedes encontrar la anti derivada de una manera sencilla y después reemplazarla por el logaritmo natural de x lo cual me daría el resultado de mi integral indefinida inicial bien trabajemos con otra integral para ver si podemos aplicar una sustitución o no tengo la integral de la tangente de x de x y esta va a ser muy interesante podemos aplicar aquí la sustitución 1 y si es así cuál sería nuestra u tal vez lo primero que digas es si tengo la tangente de x donde estaría su derivada pero qué tal si escribimos la tangente de x en términos del seno y del cose no puedo escribir esto como la integral del seno de x entre el coseno dx de x y ahora preguntarnos podemos aplicar la sustitución y si es así cuál sería nuestra 1 podremos decir que la derivada del seno de x es el coseno de x pero aquí estamos dividiendo que es opuesto lo que queremos es decir multiplicar más interesante es pensar en que la derivada del coste de x es el menos seno de x y bueno no tenemos el menú de equis pero podemos hacer un poco de manipulación algebraica y multiplicar por menos 12 veces podemos poner aquí un signo negativo y dentro otro signo negativo esto sale simplemente de las propiedades de la integración puedo poner un signo negativo afuera de la integral y otro dentro de ella y tener acá arriba la derivada del coseno de x que es justo lo que queríamos es más déjame escribirlo de nuevo voy a tener menos la integral de uno entre el coseno de x por el menos seno de x de x y espero que esto te dé la idea de que vamos a obtener tengo un coste no de x en el denominador y tengo su derivada así que qué te parece si hacemos una sustitución o hagamos un igual al coseno de x y por lo tanto la derivada de v con respecto a x es igual al menos seno de x y si vemos esto como diferenciales me queda que de eeuu es igual al menos seno de x de x cuando esto puedo decir que tengo me dé justo aquí y por acá tengo mi 1 y todo esto se simplifican como menos la integral de 1 entre 1 de 1 la cual es una integral mucho más fácil de resolver y una vez que la resuelva se puede reemplazarla por el coseno de x en fin espero que esto te haya servido porque con esto hemos terminado nos vemos en el siguiente