Examen AP Calculus AB, 2011. Pregunta 6b

inciso b para x distinto de 0 expresa el que prima de x como una función definida por partes en cuenta el valor de x para el cual f prima de x es igual a menos 3 y te estarás preguntando por qué hemos excluido los valores de x igual a cero porque no calculamos la derivada cuando x es igual a 0 y esto es porque la derivada cuando x se aproxima a 0 por la izquierda es distinta a cuando se aproxima a 0 por la derecha y es por eso que excluimos ese valor de x así que efe prima de x es igual a veamos en la primera rama es uno menos 12 x la función la derivada de 10 la derivada de menos 20 x la base no x es cosa de x entonces la libra de -12 no de x es menos 2 coseno de x esto es para x menor a cero y para x mayor a cero luego indicar en otro color usaremos el naranja para x mayor a 0 es la derivada de al menos 4 x pero iba de al menos 4 x es la deriva de menos 4x que es menos 4 y leiva de al menos 4 x con respecto a menos 4 x es a la menos 4 x en ocasiones se dice que es la diva de lo de adentro por arriba de lo de afuera con respecto a lo de adentro y la tenemos menos 4 y al menos 4 x para x mayor a 0 así hemos dado respuesta a la primera parte de la pregunta que es encontrar la derivada como una función definida por partes y tomar en cuenta cuando x igual a 0 pues como lo indicamos en un principio la derivada no está definida cuando x es igual a 0 hagamos la segunda parte encuentre el valor de x para el cual f prima de x es igual a menos 3 si esto no fuera una función definida por partes sería muy fácil la solución porque establece díaz la ecuación f prima de x igual a menos 3 y manipular y hacer que branca mente esto para obtener el valor de x pero para esta función no sabemos en cuál de los casos vamos a estar no sabemos si la x que hace f prima de x igual a menos 3 es menor a 0 o mayor a 0 algo que podemos hacer es observar estas funciones un poquito de detalle y darnos cuenta que coseno de x es una función acotada con seno de x sólo tiene valores que van de menos 1 a 1 por lo que menos 2 coseno de x sólo puede ir de menos 2 a más 2 así es que esto sólo puede ir de menos 2 a 2 y nunca puede ser menos 3 así es que si algo va a valer menos 3 va a tener que ser esta parte de la esta parte de la derivada esta parte de la definición de la derivada en esta parte de aquí y esperemos que haya valores de x mayor a 0 para los cuales esta parte de aquí es igual a menos 3 probemos lo tenemos que menos 4 ayala menos 4 x tiene que ser igual a menos 3 dividimos entre menos 4 ambos lados tenemos entonces a la menos 4x es igual a menos 3 entre menos 4 tres cuartos tomamos el logaritmo natural a ambos lados el gobierno actual de al menos 4 x es menos 4 x igual a logaritmo natural de tres cuartos para que quede claro lo que hicimos ponemos logaritmo natural aquí y lograremos natural aquí y lo que se establece aquí es a qué potencia tengo que elevar e para obtener y al menos 4 x eso es lo que se lograremos natural obviamente es menos 4x así es que esta potencia es menos 4x y tomamos logaritmo natural del lado derecho dividimos entre menos 4 ambos lados entonces del lado izquierdo obtenemos x es igual podemos decir también que multiplicamos por menos un cuarto menos un cuarto el logaritmo natural de x entre 4 tenemos que verificar este valor de x que vamos a verificar aquí para esta función tenemos que ver que x cumplen las condiciones para usar esta función que x es mayor que 0 pero aquí podemos decir aquí tenemos un signo menos pero tenemos que recordar que el logaritmo natural de tres cuartos es negativo dado que tres cuartos es un número menor a uno logaritmo natural de tres cuartos es un número negativo elevado a un exponente negativo es tres cuartos ahora esta parte es negativa - un cuarto también obviamente es negativo negativo por negativo es positivo así que el valor de x es positivo y podemos entonces usar el caso de x mayor a 0 y por lo tanto esta es nuestra solución así que x igual a menos un cuarto logaritmo natural de tres cuartos es nuestra solución f prima en x es decir f prima en menos un cuarto logaritmo natural de tres cuartos es igual a menos 3