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Curso: Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC) > Unidad 6

Lección 11: Integración por sustitución

Método de cambio de variable con integrales definidas

Hacer un

cambio de variable para integrales definidas es muy similar a hacerlo con integrales indefinidas, pero con un paso adicional: tomar en cuenta los límites de integración. Veamos a qué nos referimos encontrando

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x

Observamos que

2 x

es la derivada de

x^{2} + 1

, por lo que podemos aplicar un

cambio de variable. Sea

u = x^{2} + 1

. Entonces,

d u = 2 x d x

. Ahora, sustituimos:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} (u)^{3} d u

¡Espera un momento! Los límites de integración están dados para

x

, no para

u

. Piensa en esto gráficamente. Queremos el área bajo la curva

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

entre

x = 1

x = 2

Ahora que cambiamos la curva a

y = u^{3}

, ¿por qué deberían permanecer igual los límites?

Ciertamente, los límites no deben permanecer iguales. Para encontrar los nuevos límites, debemos encontrar cuáles valores de

u

corresponden a

x^{2} + 1

para

x = 1

x = 2

Límite inferior: $(1)^{2} + 1 = 2$ ‍
Límite superior: $(2)^{2} + 1 = 5$ ‍

Ahora podemos hacer correctamente el

cambio de variable:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{2}^{5} (u)^{3} d u

y = u^{3}

se grafica con el área entre

u = 2

u = 5

. Ahora podemos ver que las áreas sombreadas parecen ser del mismo tamaño (de hecho lo son, pero es difícil decirlo solo de vista).

A partir de aquí, podemos resolver todo con respecto a

u

\begin{aligned} \int_{2}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{2}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152.25 \end{aligned}

Recuerda: cuando usamos un

cambio de variable en integrales definidas, siempre debemos tomar en cuenta los límites de integración.

Problema 1

Se le pidió a Ella encontrar

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x

. Esta es su respuesta:

Paso 1: sea

u = x^{2} + x

Paso 2:

d u = (2 x + 1) d x

Paso 3:

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x = \int_{1}^{5} u^{3} d u

Paso 4:

\begin{aligned} \int_{1}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} \\ = 156 \end{aligned}

¿Es correcto el trabajo de Ella? Si no es así, ¿dónde está su error?

(Elección A)
El trabajo de Ella es correcto
(Elección B)
El paso 1 es incorrecto. Ella debió definir $u$ ‍ como $2 x + 1$ ‍
(Elección C)
El paso 3 es incorrecto. Ella no cambio los límites de integración
(Elección D)
El paso 4 es incorrecto. La antiderivada de $u^{3}$ ‍ es $3 u^{2}$ ‍

Problema 2

\int_{1}^{2} 15 x^{2} (x^{3} - 7)^{4} d x = ?

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Jonathan Josue Garcia Lopez
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “no se tenia que dividir c...” de Jonathan Josue Garcia Lopez
no se tenia que dividir con el 5 por ultimo?
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ROJAS MARTINEZ JESUS EDUARDO
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “¿como se resuelve la deri...” de ROJAS MARTINEZ JESUS EDUARDO
¿como se resuelve la derivada?
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- Tobias Rodriguez
  Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “En Khan Academy hay bario...” de Tobias Rodriguez
  En Khan Academy hay barios videos sobre derivadas. Lo más recomendable es primero terminar el curso de Calculo diferencial antes de comenzar con el de calculo intnegral
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