Visualizar las aproximaciones por medio de polinomios de Taylor

tomemos la función fx igual a la x para darnos una idea de cómo se ve la función hagamos un esbozo de esta función la gráfica de la función se va a ver algo así se va a ver algo así así es que esta es a la equis y lo que voy a hacer es aproximar la función a la equis por medio de una expansión de serie de taylor o una aproximación de series de taylor y lo voy a hacer no alrededor de x igual a 0 sino alrededor de x igual a 3 por tomar un valor arbitrario entonces este es x igual a 3 y aquí tenemos la función que es f de 3 que es que a la 3 y al cubo entonces cuando nosotros hacemos una aproximación por serie de taylor la mejor aproximación de orden cero es la función constante a la tres una línea recta que pasa por ea la tres si hacemos ahora una aproximación de orden uno será un polinomio de primer grado que en este caso corresponde a la recta tangente a medida que agregamos más términos esperaremos que éstos se ajusten más al contorno de la función converjan a la función posteriormente hablaremos de convergencia y que también se da esta convergencia ahora desarrollaremos la serie de taylor para esta función con la fórmula que desarrollamos de manera intuitiva en el último vídeo empecemos entonces con el término de primer orden tenemos que fx es igual a fcc y en este caso es igual a 3 entonces fx efe de 3 es igual a 3 más efe prima en c efe prima de x es igual ayala x es de las cosas extraordinarias de ésta funcione al aek es que si toma la derivada f prima de x ésta coincide con ea la x de hecho coincide con la enésima derivada de f al continuar derivando ya la x siempre tienes a la x si efe prima de x evaluada en 3 nos da a la 3 por x menos 36 3 más efe mi prima en c efe mi primer se es de nueva cuenta ya la 3 entre 2 factorial por x menos 3 al cuadrado y continuamos más efe mi prima que también es el x evaluada en c ese estrés es a la 3 sobre 3 factorial por x menos 3 al cubo y así sucesivamente lo que es más interesante más que seguir agregando términos es ver qué sucede conforme estos términos se van agregando ver como al día agregando términos la aproximación es mejor inclusive para valores alejados de x igual a 3 para visualizar esto utilicé wolframalpha wolframalpha está disponible en wolframalpha puntocom y le teclea algo así como series de taylor para la x en x igual a 3 esto fue lo que resultó de hecho también pone la expansión aquí esta expansión es lo mismo que nosotros desarrollamos aquí ya la 3 más ya la 3 x x 3 aquí lo tiene también wolframalpha a la 3 más a la 3 por x menos 3 más un medio de la 3 por x menos 3 al cuadrado de hecho también desarrollan los factoriales desde 3 factorial pusieron 6 y así con el resto de los términos por acá lo que es más interesante es que de hecho se grafican los polinomios con cada vez más y más términos aquí tenemos en naranja la función f x igual a ya la equis y luego nos indica la aproximación de orden n se muestra con n puntos así que la aproximación de orden 1 donde tenemos un polinomio de primer grado serían estos términos estos dos términos que tenemos aquí arriba aquí tenemos el término ya la 3 y el término de la 3 x x 3 x t elevado a la primera potencia así es que si sólo fuéramos a graficar estos dos términos lo tendríamos aquí con un punto es esta línea recta la recta tangente en x igual a 3 esta es la recta tangente en x igual a 3 que es la aproximación de orden 1 ss x igual a 3 y esa es la línea tangente ahora si agregamos un término si tenemos un polinomio de orden 2 aquí tenemos un polinomio orden 2 porque tenemos un término cuadráticas y expandimos este término tenemos x al cuadrado lo que nos da un polinomio de orden 2 busquemos ahora la curva que tiene dos puntos la el polinomio orden 2 es la curva que tiene dos puntos lo ubicamos aquí aquí tenemos la curva con 12 puntos aquí viene la curva que está entrando pasa por el valor de x 3 de hecho es una parábola y nota como hace un mejor trabajo de aproximación a la función a la x sobre todo acerca de x igual a 3 se queda sobre la curva un poquito más agregamos otro término déjame usar otro color que he usado para indicar el otro término que estamos agregando agregamos otro término aquí tenemos un polinomio de orden 3 veamos la gráfica del polinomio de orden 3 la buscamos aquí la tenemos 123 puntos es esta gráfica entra por aquí desde la gráfica del polígono de orden 3 y noten que entra un poquito antes pasa por la función en x 3 y sale por aquí y nota cómo se queda un poquito más y aquí sale la función agregamos otro término tenemos ahora un polinomio de orden 4 aquí tenemos estos cuatro términos aquí está la curva entra por aquí nota que entre un poquito antes sale un poco después y observamos que cada vez que agregamos un término la aproximación es mejor para valores cada vez más alejados de x igual a 3 agregando otro término obtenemos esta de aquí espero que esto te haya convencido de que entre más términos agregamos mejor es la aproximación imagínate entonces cómo es la aproximación si nos acercamos a agregar un número infinito de términos