Intervalo de convergencia de una serie geométrica

como dijimos en el vídeo anterior vimos series geométricas o bueno funciones vistas como series geométricas y luego suponiendo que la proporción común que era nuestra nuestra variable x tiene un valor absoluto menor que 1 entonces tenemos lo que lo que vale dicha suma que vimos ya hace algunos vídeos con esta fórmula ahora vamos en sentido contrario vamos a tomar una función digamos digamos ésta hdx hdx igual a 1 entre 3 más x cuadrada y vamos a ir al revés porque ahora vamos a ponerla en vamos a tratar de ponerla de esta forma para poder representarla como una serie geométrica muy bien así que te invito a que hagas una pausa y que pienses cómo resolver este problema ok entonces vamos a tratar de hacerlo primero lo que tenemos que ver es que aquí hay un 1 y aquí tenemos un 3 así que una forma de obtener este 1 es factor izando este 3 así que lo podemos poner como 1 entre 3 que multiplica a 1 más x cuadradas sobre 3 simplemente factor izamos ese 3 si uno hace este producto puede ver que se obtiene esto muy bien así que este 3 lo podemos pasar en él denomina el perdón del denominador el numerador de la siguiente forma lo podemos poner como un tercio entre y ahora ponemos uno y no tenemos que necesitamos un menos así que podemos poner menos y para que se obtenga este más ponemos el menos aquí x cuadrada entre 3 muy bien entonces ya está expresado esta función en esta forma que necesitamos para saber cómo es sujeto su perdón su serie geométrica entonces como es que lo vamos a lo vamos a escribir vamos a tener la suma la suma desde n igual a cero hasta infinito muy bien en nuestro caso quien es a pues en nuestro caso la a es el numerador que es un tercio así que ponemos un tercio que multiplica a nuestra proporción común que en nuestro caso es x así que aquí no es x simplemente será en nuestro caso va a ser menos - x cuadrada entre 3 muy bien y esto lo elevamos a la n ahora aquí pasa bueno vamos a vamos a desarrollar esto para que veamos exactamente quién es y esto sería un tercio menos aquí hay que multiplicar un tercio por en menos x cuadrada entre 3 por eso va el menos y entonces x cuadrada por una equis cuadrada entre 3 por 3 que es 9 ahora si queremos obtener el 6 el siguiente término multiplicamos nuevamente por menos x cuadrada entre 3 así que va más verdad porque tenemos menos por menos es más x cuadrada por x cuadrada es x cuarta y 9 por 3 son 27 aunque entonces tenemos x a la cuarta entre 27 y así podemos ir siguiendo para determinar esta serie muy bien entonces esta serie representa exactamente esta función cuando nos encontramos en el inter lo de convergencia entonces la pregunta es cuando convergen cuál es el intervalo de convergencia y te invito a que hagas una pausa y pienses en esto muy bien entonces vamos a checarlo nosotros necesitamos necesitamos que el valor absoluto de la proporción común sea menor que 1 en nuestro caso esté menos x cuadrada entre 3 es nuestra proporción común así que necesitamos que el valor absoluto de menos x cuadrada sobre 3 sea menor que 1 muy bien pero fijémonos que en realidad el valor absoluto de este número negativo pues en realidad es lo mismo que cuando tenemos signo más entonces esto es el valor absoluto de x cuadrada entre 3 y esto debe ser menor que 1 finalmente pues bueno finalmente todavía faltan varios pasos notemos que x cuadrado entre 3 es no negativo verdad x cuadrada siempre va a ser mayor o igual que 0 y si dividimos entre 3 sigue siendo mayor o igual que 0 así que el valor absoluto es exactamente x cuadrada entre 3 y necesitamos que sea menor que 1 vamos a abrazar resolverlo voy a seguir por acá voy a multiplicar de ambos lados por 3 y nos queda x cuadrada menor que 3 muy bien y si yo quiero sacar raíz cuadrada en realidad lo que debo poner bueno si puedo hacerlo pero del lado izquierdo queda valor absoluto de x menor que la raíz cuadrada de 3 y esto ya nos está diciendo cuál es el intervalo porque esto me está diciendo que x debe ser más grande que menos la raíz de 3 y más chico que la raíz de 3 así que aquí está nuestro intervalo de convergencia intervalo de convergencia convergencia y con esto para estas equis entre menos raíz de 3 y raíz de 3 esta función en esta función de aquí o esta serie va a ser exactamente igual es exactamente igual a woods eso fue un poco checo es exactamente igual a 1 entre 3 más x cuadrada así que sobre el intervalo de convergencia la función toma el mismo valor que la serie lo cual yo creo que es una idea fantástica