Intuición de por qué es importante la independencia para la varianza de la suma

en vídeos anteriores mencionamos que si dos variables aleatorias xy son independientes entonces la varianza de la suma o diferencia de dichas variables será igual a la suma de la varianza de cada una de las variables así que si tenemos variables aleatorias independientes la variación va a aumentar cuando sumamos o restamos varianzas vimos intuitivamente porque esto tiene sentido y en este vídeo veremos con más detalle la importancia de que estas variables sean realmente independientes para asegurar esto consideremos dos variables que son aleatorias pero no son independientes entre sí digamos que la variable aleatoria x es el número de horas que una persona aleatoria durmió ayer y digamos que la variable aleatoria que es el número de horas que la misma persona estuvo despierta ayer aquí podemos notar que estas variables no son independientes pues una variable determina por completo a la otra variable si yo dormí 8 horas ayer quiere decir que estuve despierta 16 horas y si ayer dormí 16 horas entonces estuve despierta ocho horas sabemos que aunque sean variables aleatorias y x tenga una variación y ya tenga otra variación cuando sumamos x + ye como ambas variables tratan de la misma persona la suma siempre será igual a 24 horas estas variables no son independientes si nos dicen el valor de una de las variables entonces determinamos por completo el valor de la otra variable la probabilidad de obtener cierto valor para una de las variables va a estar determinada por el valor que tengamos en la otra variable así que no son independientes entre sí digamos que la varianza de x es 4 y las unidades de esta varianza son horas al cuadrado la desviación estándar de x es igual a 2 horas también digamos que la desviación estándar de g es igual a dos horas la varianza de g es el cuadrado de su desviación estándar así que es igual a 4 horas al cuadrado si quisiéramos aplicar esta fórmula ciegamente sin tomar en cuenta la independencia de las variables diríamos que la varianza de x + debe ser igual a la suma de varianzas individuales 44 es igual a 8 horas al cuadrado es esto correcto no no tiene sentido porque sabemos que una variable aleatoria que es igual a x + jeff siempre será igual a 24 horas y nunca tendrá variación alguna así pues cuando tenemos estas dos variables que están tan relacionadas no son para nada independientes esto va a ser igual a cero aquí no hay varianza alguna x más siempre será igual a 24 al menos en la tierra donde tenemos la duración de un día aproximadamente igual a 24 horas esto nos sirve para darnos una idea del por qué es importante que las variables sean independientes entre sí para este enunciado si las variables no son independientes este enunciado no tiene sentido nos vemos en el siguiente vídeo