Propiedades de la integral definida (sin gráficas): separación de un intervalo

dada la integral definida que va de 1 a 4 de fx de x 6 y la integral definida que va de 1 a 7 de fx de x igual a 11 queremos saber cuál es la integral definida que va de 4 a 7 de fx de x bueno en mi cabeza estoy visualizando estas áreas bajo la curva que se generan entre igual a fx y el eje x así que vamos a dibujarlo no sabemos exactamente que sea fx pero podemos dibujar una función arbitraria solo para visualizar las cosas entonces vamos a dibujar el eje y este es nuestro eje x vamos a ver en este caso todo sucede de 1 a 7 entonces vamos a poner 1 2 3 4 5 6 7 y podemos poner 8 si quiere entonces tenemos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 y ahora vamos a dibujar la función de igual a fx dibujaré algo arbitrariamente supongamos que la gráfica se ve así esto es que igual a efe y recuerden que este es nuestro eje x y este es el eje y ok y ahora pensemos en qué es lo que representa cada una de estas integrales bueno la integral definida que va de 1 a 4 nos dice que vamos de 1 a 4 entonces esta área corresponde a la integral definida que va de 1 a 4 esta es el área bajo la curva que se genera entre la función ye igual a fx y el eje i es igual a 6 y también tenemos la región que va de 4 a 7 y esta área bajo la curva representa a la integral definida que queremos resolver que es la integral que va de 4 a 7 de fx de x esto es lo que queremos conocer entonces esta es el área bajo la curva de la región que hay entre x igual a 4 y x igual a 7 entre igual a fx y el eje x y bueno también nos da en esta información en que la integral definida que va de 1 a 7 que va de 1 hasta 7 miren es la suma de las dos regiones así que podemos reescribir esto como la integral definida que va de 1 a 4 de fx de x más la integral definida que va de 4 a 7 de fx de x y esto es igual a la integral definida que va de 1 a 7 de fx de x y observen lo que sucede aquí la primera integral corresponde al área que va de 1 a 4 y después pasamos de 4 a 7 y la suma de esas dos áreas nos da el área que va de 1 a 7 entonces como nos han dado mucha información ya sabemos que esto es igual a 6 y que esto es igual a 11 entonces tenemos que 6 más esto es igual a 11 por lo tanto la integral definida que va de 4 a 7 debe de ser igual a 5 5 otra forma de verlo sería que si esta región es igual a 6 tiene un área de 6 y toda el área es igual a 11 esto más esto es igual a 11 entonces lo que no conocemos es decir el área anaranjada es igual a 11 menos 6 por lo tanto esta área es igual a 5