Justificación con base en cálculo para mostrar que una función es creciente

nos dicen a continuación se muestra la gráfica de la función h y su derivada h prima vemos que la función h está en color azul y su derivada h prima está en color anaranjado a cuatro estudiantes se les pide dar una justificación con base en el cálculo tomando en cuenta que h se incrementa cuando x es mayor que 0 puedes asociar los comentarios del maestro con las justificaciones de los estudiantes antes de ver que escribieron los estudiantes podemos ver directamente en la gráfica que h se incrementa cuando x es mayor que 0 pero el observar solamente la gráfica de h no es una justificación con base en el cálculo solo estamos usando nuestro conocimiento de cómo luce una gráfica cuando se incrementa para tener una justificación con base en el cálculo tenemos que usar cálculo quizá usar la derivada de la función quizás recuerden que cuando una función se incrementa su derivada es positiva así que sin ver qué es lo que dicen los estudiantes vamos a ver qué es lo que diría yo como justificación con base en el cálculo y de hecho no tengo que ver la gráfica de h solo necesito ver la gráfica de h prima h prima es positiva cuando x es mayor que 0 si la derivada es positiva entonces la pendiente de la línea tangente es positiva que a su vez significa que la gráfica original está incrementando veamos puedes asociar los comentarios del maestro con las justificaciones de los estudiantes la primera justificación dice la derivada de h se incrementa cuando x es mayor que 0 vemos en la gráfica que es cierto la derivada de h incrementa cuando x es mayor que 0 pero esa no es una justificación con base en el cálculo por ejemplo la derivada podría incrementarse aún siendo negativa en cuyo caso h estaría disminuyendo la justificación apropiada es que h prima es positiva no que sea incremente ya que podría estarse incrementando y aún así no ser positiva yo creo que el comentario que le corresponde es que no justifica porque h se incrementa la segunda justificación dice cuando x es mayor que 0 mientras los valores de x se incrementan los valores de la función también se incrementan una justificación del por qué h se incrementa pero no es una justificación con base en el cálculo el comentario que le corresponde es no es una justificación con base en el cálculo la tercera justificación dice está arriba del eje x a qué se refiere esto se trata de h h prima si dijera que h prima está arriba del eje x cuando x es mayor que 0 entonces sería una buena respuesta pero solo dice esto está arriba del eje pero no dice que es ni en qué intervalo así que el comentario correcto sería por favor usa un lenguaje más preciso esto no es una justificación correcta finalmente la última justificación dice la derivada de h es positiva cuando x es mayor que 0 en efecto es la justificación correcta si la derivada es positiva significa que la función original se está incrementando en ese valor así que el comentario correcto es bien respuesta correcta y con esto terminamos