Ejemplo resuelto: evaluar la derivada con derivación implícita

perfecto en todos los vídeos anteriores hemos estado platicando acerca de la derivada implícita y que con ella podemos obtener la pendiente de la recta tangente en un punto de mi curva en esta ocasión lo que quiero ver es encontrar en efecto esa pendiente de mi recta tangente y voy a suponer que lo quiero encontrar en el punto x igual a 1 y bueno antes que hacer la derivación implícita lo que a mí me gustaría saber es cuánto vale y es decir en qué punto estoy para 2000 curva por lo tanto lo que voy a hacer es sustituir a x por 1 en esta ecuación y despejar allí entonces vamos a hacerlo 1 elevado al cuadrado pues me da 1 entonces lo primero que hay que poner es 1 y después tengo más bien menos equis vale 1 más de menos uno elevado al cubo es igual a 28 ahora voy a pasar el 1 restando de otro lado y me queda que ye menos 1 al cubo es igual a 27 y después le voy a sacar la raíz cúbica entonces me queda que menos 1 es igual a la raíz cúbica de 27 lo cual es 3 y entonces y es igual a 1 no lleva a ser igual a 3 más uno que es 4 muy bien entonces tengo el punto 14 estoy parado en este punto de aquí y es justo ahí donde quiero encontrar la pendiente de la recta tangente entonces para eso lo que necesito es la derivación implícita y para derivar en precisamente lo que hacíamos es agarrar el operador derivada con respecto a x de ambos lados de la igualdad la derivada con respecto a x de este lado y de este lado y bueno pues vamos a realizarlo entonces la derivada con respecto a x de x cuadrada es una cosa muy sencilla es 2x entonces tengo 2x y después tengo la derivada con respecto a x de yemen os x elevado al cubo y como se resuelve con la regla de la cadena exactamente hay que bajar el exponente ponemos otra vez la función original de menos x le bajamos 1 el exponente es decir al cuadrado y después hay que multiplicarlo por la derivada de lo que está dentro la derivada de ella con respecto a x esta derivada de ella con respecto a x y la derivada de x con respecto a x es 1 y bueno del otro lado tenemos la derivada con respecto a x de 28 lo cual es cero porque la derivada de una constante es abajo y ahora si lo que yo quiero despejar es la derivada de ye con respecto a x por lo tanto lo que voy a hacer es en un principio multiplicar este 3 que multiplica a x menos de cuadrada tanto por la derivada de ye con respecto a x como x menos 1 entonces primero me queda 3 que multiplica a yemen x elevado al cuadrado que multiplica a su vez a la derivada de ye con respecto a xy le voy a poner aquí y después me queda 3 que multiplica a yemen os x elevado al cuadrado que multiplica a menos 1 y me queda menos 3 que multiplica a yemen x elevado al no menos x elevado todo esto al cuadrado hay que tener mucho cuidado un errorcito y el error puede ser fatal y ahora sin esto que está aquí lo voy a pasar del otro lado y lo vamos a pasar con signo contrario por lo tanto voy a escribir otra vez todo solamente lo que depende de la derivada de ella con respecto a x es esto que está aquí y me queda tres veces menos x elevado al cuadrado la derivada de ye gon respecto a x esta la voy a dejar de color magenta recuerden que es tras lo que vamos y esto lo voy a pasar del otro lado y me queda menos 2 x menos por menos me da más entonces esto lo mismo que poner tres veces menos x elevado al cuadrado menos por menos me da más y después es menos 2 x no más menos 2 x este es el paso positivo y el otro se vuelve negativo y bueno por lo tanto la derivada de ayer con respecto a x la derivada de y es en color magenta perdón aquí está la derivada de ella con respecto a x es igual a 3% menos x elevado al cuadrado todo esto menos 2 x entre 3 por james x elevado al cuadrado y ahora sí si yo lo que quiero saber es cuál es la pendiente de mi recta tangente o la derivada de ye con respecto a x pero en el punto 14 lo que tengo que hacer es sustituir la x por 1 y la ye por 4 por lo tanto vamos a ir poniendo todo esto vamos a ir sustituyendo con calma y me queda 3 que multiplica a ye que vale 44 menos 1 porque la x vale 1 elevado al cuadrado menos 2 veces x que vale 1 entre 3 veces ya que vale 4 - x que vale 1 todo esto elevado al cuadrado y esto que es igual 4 - unos 3 al cuadrado es 9 por 3 todo esto es 27 9 por 32 27 entonces es 27 menos 2 y esto me da 25 entre 3 por 3 al cuadrado de entre 27 entre 27 claro está y bueno aquí ya tenemos por fin la pendiente de la recta tangente en el punto 14 en esta curva que tenemos aquí que por cierto no les dije pero esta gráfica la saqué del programa world alfa y por lo tanto ya tenemos todo y hemos resuelto este problema espero les haya servido