Continuidad en un intervalo

lo que vamos a hacer en este vídeo es explorar la continuidad sobre un intervalo pero antes de hacer eso vamos a recordar qué significa la continuidad en un punto decimos que la función f es continua cuando x es igual a c si y sólo si el límite cuando x tiende a c df de x es igual a fcc la primera vez que introdujimos esto dijimos que parecía ser algo muy técnico pero en realidad puede ser bastante intuitivo pensemos en lo que está pasando aquí por ejemplo esta parte el límite cuando x tiende hace de la función f de x si tenemos aquí la función que se aproxima a cierto valor ok si nos aproximamos por la izquierda la función se aproxima a un valor cuando x tiende a c y cuando la función se aproxima hace por la derecha la función tiende al mismo punto bueno pues para que esta función sea continua para poder dibujar toda la gráfica de esta función sin tener que levantar el lápiz el valor de la función en ese punto tiene que ser igual al límite de esa función en ese punto ok y esto que tenemos aquí es simplemente una manera más formal de describir esta noción de que para que una función sea continua tenemos que poder dibujarla sin levantar el lápiz del papel ok es una manera formal de describir esta noción de que está conectado de que no tenemos saltos o discontinuidades de ningún tipo pero bueno ya que repasamos de esta parte ahora sí vamos a hablar acerca de la continuidad sobre todo un intervalo y no nada más de la continuidad en un punto para eso tenemos que borrar esto para tener más espacio y primero vamos a hablar de intervalos abiertos porque los intervalos cerrados son un poquito más complicados decimos que f es continua en un intervalo a c y aquí estamos diciendo que tenemos un intervalo abierto porque tenemos estos paréntesis si en lugar tuviéramos unos corchetes entonces tendríamos un intervalo cerrado pero estos paréntesis nos dicen que no estamos incluyendo los puntos extremos dentro del intervalo gain ya ni se son parte de este intervalo porque hay este es el intervalo de todos los puntos que se encuentran entre a y c sin incluir ni a a ni ac ok entonces efe es continua en el intervalo abierto a coma c si y sólo si f es continua sobre cada punto en el intervalo sí solo si efe es continua en cada punto del intervalo pero bueno ahora vamos a ver algunos ejemplos podemos pensar en el intervalo abierto menos 7 a menos 5 y aquí nos preguntamos la función f es continua en el intervalo abierto de menos 7 a menos 5 bueno pues ese es este intervalo de aquí y aquí podríamos contestar de una forma no muy rigurosa matemáticamente podríamos decir oye aquí no tengo que levantar el lápiz para dibujar este pedazo de la gráfica pero si quisieras demostrarlo de una forma más rigurosa y tuvieras la definición de la función f entonces lo que tendrías que hacer es demostrar que para cada uno de los puntos de este intervalo el límite conforme x tiende a ese punto que puede ser cualquiera de estos es igual a la función en ese punto en particular ahora como aquí únicamente tenemos la gráfica de la función las cosas se complican un poco y aquí solo lo podemos demostrar inspeccionando la gráfica aquí lo único que podemos decir es que podemos pasar de este punto a este otro punto sin levantar el lápiz del papel entonces estamos bastante confiados de que en este intervalo la función es continua pero bueno ahora vamos con otro intervalo aquí vamos a poner una palomita de que la función en este intervalo si es continua pero ahora pensemos en otro intervalo ahora vamos a ver si la función es continua en el intervalo abierto desde menos 2 hasta 1 positivo y este es un ejemplo muy interesante porque aquí tenemos un salto justo en menos 2 entonces empezamos justo en el menos dos tenemos que saltar para seguir dibujando la función pero este es un intervalo abierto entonces en realidad no estamos empezando en el -2 realmente no nos importa el valor de la función exactamente en -2 lo único que nos importa de acuerdo con este intervalo son todos los valores que son mayores que menos dos menores que uno pero al menos dos no nos interesa así es que no estamos empezando por acá podríamos decir que estamos empezando por acá y nos vamos hacia el 1 y de acuerdo a nuestra noción de que aquí no estamos levantando el lápiz del papel esa noción nos dice que la función es continua en este intervalo pero por supuesto también nos gustaría ver algún ejemplo en el que la función no sea continua y a ver pensemos en esta gráfica donde tenemos un intervalo en el que la función no sea continua bueno pues por aquí tenemos otro por ejemplo el intervalo de 3 a 5 la función está por acá cuando x es igual a 3 y entonces seguimos por acá y subimos y subimos y parece como que aquí tenemos una sin tota entonces la función se va hasta infinito y nos quedamos mucho tiempo dibujando la pero luego tendríamos que tomar nuestro lápiz despegarlo del papel para poder dibujar el resto de la función así es que aquí la función no es continua en este intervalo bueno pero ahora vamos a ver la continuidad en los intervalos que son más complicados los intervalos cerrados efe es continua en el intervalo cerrado ap si y sólo si f es continua en el intervalo abierto a p y el límite conforme x tiende aa por la derecha geithner por la derecha de la función evaluada en x es igual a efe de a y también el límite conforme x tiende a b por la izquierda bueno no esto va por acá el límite cuando x tiende a b por la izquierda de fx es igual a efe-tv bueno pero que es lo que estamos diciendo por aquí pues nada más estamos diciendo que la función en los extremos de este intervalo cerrado el límite por dentro del intervalo conforme nos acercamos a los extremos tiene que ser igual al valor de la función evaluada en el extremo entonces por ejemplo si consideramos el intervalo cerrado menos 7 a menos 5 bueno pues aquí sigue siendo bastante intuitivo que la función sigue siendo continua en este intervalo cerrado porque empezamos por aquí y no necesitamos despegar el lápiz del papel para al otro extremo del intervalo cerrado así es que la función en este intervalo cerrado definitivamente es continua pero incluso si la función no estuviera definida en esta parte la función seguiría siendo continua en el intervalo porque el límite por la derecha conforme nos acercamos a menos 7 aunque esta otra parte no esté definida el límite por la derecha sigue siendo igual al valor que toma la función en menos 7 y lo mismo sucede con este otro extremo el límite por la izquierda conforme nos acercamos a menos 5 si es igual al valor de la función en menos 5 incluso si no estuviera definido el límite por los dos lados de la función en menos 5 y de hecho tenemos un ejemplo de ese caso por acá si nos fijamos en el intervalo que va de menos tres a menos dos empezamos por acá y observa no tengo que levantar el lápiz del papel para llegar a menos dos si tuviéramos la definición exacta de la función f podríamos demostrar que él para cada uno de estos puntos dentro del intervalo es igual a la función evaluada en ese punto y también demostraríamos que para estos dos extremos el límite conforme x tiende a ellos por adentro del intervalo es igual a la función evaluada en ellos aunque hay porque aquí en menos 3 la función es continua en el sentido más básico de todos porque el límite por los dos lados de la función conforme de crisis tiende a menos 3 es igual a la función evaluada en menos 3 sin embargo si analizamos el menos 2 las cosas cambian bastante porque el límite por los dos lados df en menos 2 ni siquiera existe ok si tenemos el límite por la izquierda y el límite por la derecha pero lo importante aquí es que el límite por la izquierda que es el límite por adentro del intervalo es el límite se acerca cada vez más a 0 y la función evaluada en menos 2 es igual a 0 que el límite por la derecha cuando x tiende a menos 2 se acerca a menos 3 entonces aunque no exista el límite por los dos lados de f en uno de los extremos del intervalo cerrado al menos dos de todas formas podemos decir que la función es continua en este intervalo cerrado porque el límite por adentro del intervalo de este extremo si es igual al valor de la función en ese extremo el límite por la izquierda de ese extremo si es igual a la función entonces la función si es continua sobre este intervalo pero bueno también nos podemos preguntar por este otro intervalo el intervalo desde menos 2 hasta 1 y ahora te voy a pedir que le pongas una pausa a este vídeo y pienses si la función es continua en este intervalo cerrado estamos hablando de este intervalo cerrado aquí nos tenemos que preguntar si se cumple esta condición que el límite conforme x tiende a por la derecha de fx es igual a de fedea el límite conforme x tiende a a por la derecha parece ser igual a menos 3 y la función evaluada en menos 2 es 0 entonces estos dos no son iguales el límite conforme nos acercamos por la derecha no es igual a la función evaluada en el extremo entonces no se está cumpliendo esta propiedad aunque podríamos decir que no tenemos esta continuidad lateral porque el límite por la derecha de esta función en menos 2 no es igual al valor de la función y eso tiene mucho sentido porque si empezamos a dibujar en y quiero dibujar el resto de la función en este intervalo pues tengo que levantar el lápiz tengo que levantar el lápiz para moverme hasta acá para poder dibujar el resto de la función en este intervalo entonces como aquí tuvimos que saltar esta función no es continua en este intervalo cerrado y listo terminamos