La convolución y la transformada de Laplace

ahora que ya has tenido un poco de acercamiento a lo que una combo lución es puedo presentarles el teorema de la convención o al menos en el contexto de las ecuaciones diferenciales y de la transformada de laplace verdad porque puede haber otros teoremas de convolución pero bueno solo vamos a tratar en este tema este es el teorema de convolución cómo se aplica a la transformada de laplace y nos dice que si tengo una función efe dt y puedo definir su transformada de la plaza como a efe mayúscula de s ya lo hemos hecho antes y digamos que tengo otra función g de t cdti tomó su transformada de la plaza y que vamos a llamar por supuesto que desee pero g mayúscula así que si tú si tuviéramos la conducción de f esta es la convención de f esto bueno por supuesto va a ser una función que dependa de te verdad lo vimos en el vídeo pasado con seno y coseno y demás así que esto como función de t si tomamos la transformada de la plaza de esta cosa lo central del teorema nos dice que la transformada de la plaza de esta convención de estas dos funciones es igual al producto de las transformadas de la plaza es decir es igual a efe de s por cdc estas mayúsculas por supuesto esto puede parecer muy abstracto y a lo mejor muy duro de manejar pero ustedes verán que no es tan difícil y en realidad vamos a hacer una inversa para transformar con un ejemplo es decir si esto es cierto podríamos también poner del lado izquierdo transformada de la plaza inversa de esto es decir la convulsión de fg baja que es una función de t será igual a la transformada inversa de la plaza de fs por gps verdad de que no puedo resistir lo voy a cambiar de colores de fs por gdf ahí estás ahora que que se puede hacer con todo esto bueno podemos tomar la transformada inversa de la plaza y digamos que déjenme escribirlo aquí digamos digamos que ustedes tienen la siguiente expresión o función que es una hd s una función que depende de ese digamos 2s sobre ese cuadrada más uno y todo esto al cuadrado hicimos algo y digamos que terminamos de una ecuación diferencial que tenemos que calcular la transformada inversa de esta cosa así que queremos averiguar la transformada inversa de la plaza de h de s ok la transformada inversa de esta cosa de ahí así que queremos averiguar cómo calcular la transformada inversa de la plaza de esta expresión de 2 s sobre s cuadrada más 1 y todo esto al cuadrado no quiero que se pierda nada allí ahora podemos escribir esto como el producto de dos funciones de dos que conozcamos vamos a intentar hacer esto por lo tanto podemos reescribir esto así que esta es la transformada inversa de la plaza de genera escribir esta función yo puedo reescribir la función en morado como está ya funcionando cc / s cuadrada más o no al cuadrado como 2 podemos escribirlo como 2 por 1 sobre s cuadrada más 1 y luego todo esto lo multiplicamos por s sobre s cuadrada más 1 ok nada más los separe de esta forma multiplicando estas 3 obtenemos la de la izquierda así que multiplicando los denominadores obtendremos también el denominador de la izquierda verdad porque es ese cuadrada más 1 al cuadrado así que si queremos obtener la transformada inversa de la plaza del lado izquierdo es lo mismo que obtener la transformada de la plaza de esto que está justo aquí ahora esperemos que esto debe comenzar a notarse algo conocido para usted es verdad esto fue separada en dos funciones cuyas transformadas de laplace ya conocemos digamos si éste es f de s sabemos que lo que es esta función verdad esto es simplemente lo que estoy en marcando en esta es la transformada de la plaza el seno de t y la transformada de la plaza de esta función es la transformada de coseno de texto vamos a llamarle g desde así que esta es la transformada de seno este es esto implica que ft es igual a seno de t y del lado derecho digo debemos reconocer esto verdad ya para estas alturas que del lado derecho la transforma edad deje de ti coseno dt es eso que tenemos allá arriba no s / s cuadrada + 1 y por supuesto cuando tomamos la transformada de la plaza podríamos tomar el número 2 en alguna de estas dos funciones pero bueno ahora déjenme reescribirlo de esta forma déjenme reescribirlo de la forma siguiente en lugar de tomar el 2 acá separado lo voy a dejar dentro de la fcs como 2 / s cuadrada más son acordadas y digamos lo voy a enmarcar en naranjita y entonces esto va a ser mi fdc y entonces la ft va a ser dos veces seno desde verdad sólo incluyen el 2 y ya ya queda listo quería que quede exactamente como fcc por gps sin ninguna otra cosa así que esta expresión es el producto de la transformada de la plaza de dos funciones de 12 9 t por coseno desde verdad ahora nuestro teorema de la convulsión nos dice esto aquí esto de aquí esto nos dice que si queremos calcular la transformada inversa de la plaza de dos funciones que son transformadas de laplace puede que sea un poco confuso pero quiero que vean eso simplemente es calcular la convulsión de las funciones si yo puedo reconocer la verdad esto aquí es la transformada de la plaza de dos veces en oeste y lo de la derecha es la transformada de coseno de t así que justo estamos como esta expresión está escrita podemos tomar la inversa de la plaza y será iguales a la convención de las funciones originales verdad si se dan cuenta va a ser igual a la inversa de nuestra f mayúscula haciendo convolución con la inversa de nuestra gema muscular déjenme escribirlo así efe dt es igual a transformar la inversa de la plaza de f mayúscula verdad efe de ese y sabemos que debe ser análogo no es decir g de te va a ser igual cereté es igual a la transformada de la plaza inversa de nuestra gema muscular de s entonces entonces podemos reescribir el teorema de la convención con transformadas inversas y esto quizás pueda confundir un más que ayudar pero bueno déjenme intentar mi mejor esfuerzo así que la transformada inversa de la plaza de fs de fs por qué de ese solo sólo estoy reafirmando está esta expresión esto va a ser igual a la convocación de la inversa de fs con la inversa de gdc es decir la inversa es perdón la conducción de la inversa de la plaza de fs con la convocación con la transformada inversa de la plaza de nuestra perdón no era que era g mayúscula de gds y miren no sé si esto sea de ayuda o no pero si volvemos al ejemplo anterior quizás si podría ser de ayuda así que esto es fs déjenme hacerlo en color celeste dos veces 1 / s cuadrada más 1 es nuestra fs del ejemplo anterior y la gds va a ser s sobre ese cuadrada más uno igual del ejemplo anterior así que todo lo que hicimos fue separar esta cosa de arriba cosas que conozco si multiplicamos recupero la función original verdad que estaba tratando de obtener la transformada de inversa de la plaza así el teorema de la convulsión me dice que eso va a ser la convocación de las transformadas inversas de la plaza tanto de efe que es 2 / s cuadrada + 1 la convención con la transformada inversa de la plaza de nuestra gds que es ese entre s cuadrada más 1 y sabemos lo que son estas cosas verdad ya les dije a ustedes anteriormente ya debería ser bastante natural para ustedes ver que esto es dos seno de t y tomamos la transformada si tomamos la transformada de dos veces en 9 obtenemos 2 entre s cuadrada más 1 verdad y esto lo haremos haremos la convulsión con la transformada inversa de laplace de esto que es coseno de t así que nuestro resultado hasta ahora permite ser bastante claros verdad siempre es bueno dar un paso atrás y pensar en lo que estamos haciendo así que vamos a vamos vamos a reescribir lo de forma más concisa la transformada inversa de la plaza de lo que estaba arriba que era 2s / s cuadrada más 1 que era lo que estábamos haciendo originalmente que ahora ya sabemos cómo hacer esto debería ser este llaves verdad en realidad sólo se traduce en resolver esta convención que es dos veces seno dt convolución con coseno dt con coseno dt y bueno dirás oye a lo largo de estos vídeos ya se me olvidó lo que significa sacar una convención así que voy a reescribirla la definición de lo que es una convulsión efe convolución con g la conducción de ese con g es la integral de cero a t df de t - tau por g de tao dif respecto de tal verdad vamos a integrar respecto detalló en este caso vamos a tener que sustituir nuestra fe y nuestra g de verdad en realidad déjenme ponerlo con otro color esto será entonces la integral de 0 a t de dos veces seno de temenos estado seno de temenos trabaja por el coseno de t betao perdón el coste no de estado y esto será respecto respecto de etapa y esto fue lo que hicimos en el último vídeo verdad fue lo que resolvimos o algo bastante parecido verdad porque esto va a ser dos veces la integral de 0 a t de de seno dt - tau de menos tal por el coseno de tau de estado y esto fue lo que resolvimos en el vídeo anterior justamente esto de aquí a la derecha slacom volución de seno de t con coseno dt verdad simplemente y esto lo hicimos en el vídeo anterior puedes verlo para que veas la solución de esto y justo aquí es un medio de t por seno de t ahora si esta es la conducción de seno de t con coseno dt y si multiplicamos por 2 obtendremos nuestro gran resultado verdad entonces finalmente la transformada inversa de la placer 2s / s cuadrada + 1 al cuadrado será igual a esta convulsión que dijimos dos veces en oeste convolución konko se note que es dos veces por un medio que se cancelan t por el seno de t y una vez que obtengamos esto ya ya esté en realidad la clave reconocer que esto podría ser dividida como el producto de dos transformadas de la plaza que ya reconocemos verdad esto se describe como este producto que escribimos acá se trata la transformada de laplace de seno y de coseno así que la transforma de inversa de laplace de nuestra expresión original fue sólo la convención de cos en ocón dos veces en nueve si ustedes vieron el vídeo anterior realmente hay calcularla convolución no fue simple no fue tarea fácil pero es una forma integral que podemos resolver en cualquier caso sale así que yo no he demostrado este teorema de la convulsión lo haré quizás en un futuro vídeo pero esperemos que esto de mucho más sentido de cómo funciona el resultado de cómo utilizar realmente la transformada inversa de la plaza y bueno recordemos la razón de por qué queríamos hacerlo esto es porque siempre es un último paso cuando estamos resolviendo una ecuación diferencial y podemos usar la transformada de la plaza