Más práctica de sustitución trigonométrica

digamos que tengo la integral indefinida de uno que está dividido sobre la raíz cuadrada de tres menos dos equis cuadrada aquí va de xy cuando lo observo no tengo una anti derivada a la mano para hacer una sustitución o como normalmente lo haríamos pero lo que sí puedo hacer es decir esto casi se parece a una de las identidades trigonométricas que conozco buscar alguna y sustituirlo por esta así que vamos a sustituirla por alguna identidad trigonométricas que se parezca a esto que tenemos aquí de las identidades trigonométricas básicas y de la definición del círculo unitario sabemos qué seno cuadrado de teta más coseno cuadrado de teta es igual a 1 si restamos coseno cuadrado de teta de ambos lados bueno también podríamos restar el seno cuadrado de teta obtenemos coseno cuadrado de teta es igual a uno menos el seno cuadrado de teta podemos observar que esto que tenemos aquí se empieza a parecer a esto que tenemos aquí tendré que hacer un poco de manipulación algebraica para hacer que esto se parezca más a lo que tengo acá y lo primero que necesito es un 1 así que puedo empezar factor izando el 3 entonces esto es igual a la integral de 1 sobre la raíz ahora voy a factorizar el 3 que sea de tres veces que multiplica a uno menos dos tercios de x cuadrada y la verdad no hice nada complicado para llegar a esto y lo único que hice fue factorizar el 3 y veamos ahora esta expresión se parece mucho a esta otra expresión pero lo importante aquí es que si yo logro que dos tercios de x cuadrada se parezca a seno cuadrado de theta podría sustituir con esta identidad así que vamos a hacerlo sea dos tercios de x cuadrada igual hacen o cuadrado de tetas ahora vamos a tomar la raíz cuadrada en ambos lados esto será entonces la raíz de 2 entre la raíz de 3x es igual al seno de teta ahora vamos a resolver para x y bueno también vamos a querer resolver para theta tenemos que hacer los dos así que empecemos con teta y entonces theta sería igual al arco seno de raíz de dos sobre raíz de 3x vamos a resolver para x por lo que tomamos el inverso de este y vamos a escribir x igual a raíz de 3 sobre raíz de 2 por el seno de teta y ahora vamos a sustituir esto por el seno cuadrado de teta y no podemos dejar así nada más la equis porque lo vamos a integrar con respecto a de teta entonces ahora veamos quién es de equis y de equis con respecto a beteta iba a ser la raíz de 3 sobre la raíz de 2 por la derivada de seno de teta que es coseno de teta ahora vamos a escribirlo esto en términos de de x y entonces de x será a la raíz de 3 sobre la raíz de 2 por el coseno de teta beteta y ahora sí podemos sustituirlo aquí arriba y vamos a reescribir lo entonces saber en esta área voy a escribir vamos a utilizar un color azul y reescribir esto nos quedará la integral de 1 x de x pero puedo escribirlo directamente en el numerador así de x aquí arriba y que es de x bueno pues de x es lo que tenemos aquí escrito en amarillo qué dice la raíz de 3 sobre la raíz de dos coseno de teta de teta y eso es lo que es de equis y ahora que tenemos en el denominador bueno en el denominador tenemos que es la raíz cuadrada de tres veces uno menos y sustituyó dos tercios de x cuadrada por seno cuadrado de teta y ahora vamos a simplificar uno menos seno cuadrado de teta y resulta que uno menos seno cuadrado de teta es el coseno cuadrado de teta si lo que está aquí es coseno cuadrado de teta y entonces voy a escribir ahora mi integral indefinida como la raíz de tres sobre la raíz de dos por el coseno de teta beteta y todo esto sobre la raíz de tres veces el coseno cuadrado de teta y ahora resolvamos la raíz cuadrada que está aquí abajo así que voy a cambiar de colores de una manera arbitraria a cualquier color y esto va a ser entonces la integral de raíz de tres sobre raíz de dos coseno de teta de teta todo eso / raíz de 3 por el coseno de teta esto simplifica mucho las cosas porque este coseno de teta cancela a este otro coseno de teta y esta raíz de 3 cancela a la otra raíz de 3 por lo que ahora puedo re escribir esto como la integral de uno sobre raíz de dos x de teta podemos continuar y debido a que este número es una constante lo puedo sacar de la integral y escribirlo como 1 sobre la raíz de 2 la integral de de teta y esta es sencillísima porque se resuelve en 1 sobre raíz de dos tetas más si se es una constante podríamos hacer algunas reflexiones acerca de ella pero dejémoslo que es una constante arbitraria y yo creo que tú puedes trabajar con esto y ya terminamos pero no la verdad no porque no está integral original está en términos de equis y aquí tenemos en términos de theta de lo anterior sabemos que teta es el arco seno de raíz de 2 / raíz de 3x así que mi integral indefinida la que está aquí arriba todo esto que tenía yo aquí arriba lo voy a poder ahora sustituir como 1 sobre la raíz de dos tetas pero theta es esto que está aquí arriba que es simplemente es el arco seno de la raíz de 2 sobre la raíz de 3 y tengo esta constante o sea más la constante así que todo esto que tengo aquí todo esto que está aquí es la anti derivada de 1 sobre la raíz de 3 menos 2 x al cuadrado voy a hacer más ejemplos en próximos vídeos