Cambiar el sistema coordenado para encontrar la matriz asociada a una transformación

bien supongamos que estoy en r2 que estoy en el plano y que tengo el vector tengo el vector 1 2 este vector se ve más o menos así vamos que esto es uno el vector más o menos se ve algo así andrás ok ahora si me fijo en el conjunto de múltiplos reales de este vector es decir me fijo en el conjunto l de múltiplos de este vector de vectores de la forma t por el vector 12 donde donde te un real el número real lo que obtengo es una línea recta el conjunto l es la línea generada por este vector por el vector 12 que se ve más o menos así la línea está un poco seca pero pero bueno más o menos algo así se ve la línea el ahora supongamos que tengo un vector aquí supongamos que tengo este vector x el vector x voy a definir una transformación de r 2 en r 2 y la transformación la voy a definir como reflexión reflexión con respecto a esta recta l entonces tengo el vector x lo mandó a su vector simétrico con respecto a la línea más o menos mi idea es una perpendicular e irme la misma instancia del otro lado de la línea ese punto me va a definir al vector de la transformación tengamos este de aquí sería t tx recuerden te estoy tratando de definirla como la transformación que es la reflexión con respecto a la línea l vamos a hacer otro ejemplo vamos a hacer otro vector digamos digamos que tengo un vector b 1 tarde 1 y lo voy a tomar ortogonal a la línea perpendicular esta línea en particular perpendicular al vector 12 si quiere obtener un vector que sea parte que sea perpendicular al 12 un vector que sea perpendicular al 12 lo que hago es sencillamente los intercambio y hago uno de ellos negativo por ejemplo puedo tomarme el doctor 2 - 1 2 - 1 es un vector que es perpendicular al vector 1 2 si hacen el producto punto o el producto interior lo que les da hay 2 x 1 que es dos más dos x menos uno que es menos 22 menos 20 así que estos dos vectores son completamente perpendiculares de hecho se ve más o menos a 100 en la gráfica si gráfico el doctor ve uno se ve algo así algo así aquí si se puede ver que es ortogonal a esta línea el y a donde lo manda la transformación pues la transformación desde 1 es simplemente reflejarlo con respecto a la línea l como el vector de uno es perpendicular esta recta se refleja simplemente pasando el otro lado que yendo en sentido contrario digamos algo así su transformación este sería la transformación de uno y bueno no sé quién sea la matriz que representa esta transformación respecto a la base estándar pero sí puedo decir que la transformación debe uno al menos en este caso es el vector doctor que simplemente es ponerle un menos a esto es menos 2 positivo así actúa la transformación así que bien vamos a formalizar un poco todo esto estoy tratando de definir una transformación de qué va de r2 a r2 de modo que te vx la transformación aplicado un vector x es igual la reflexión de x la reflexión x con respecto efecto la línea del d donde él pues ya sabemos es la recta generada por el vector 12 ahora como estoy trabajando en coordenada estándar yo sé yo sé que existe una matriz de pero existe una matriz yo sé que existe una matriz y tal que la transformación aplicado un vector x es lo mismo que multiplicar a la matriz a por el vector x esto siempre existe en transformaciones lineales de hecho ya hemos visto varios ejemplos de esto así que como tengo a pues en general es igual a la matriz cuyas columnas son tómate el primer vector de la base estándar de r 2 el vector 10 y aplicar la transformación y el resultado va a ser tu primera columna para la segunda columna tómate la transformación y aplicarla al segundo vector de la base estándar tr2 el 01 y esa va a ser tu segunda columna así que la matriz a es una matriz de 2 por 2 cuyas columnas son precisamente estos vectores ahora bien como pueden encontrar estos vectores como por encontrarte de 1 0 y 3 0 1 pues en teoría podría hacer operaciones trigonométricas y saber a dónde va a dar por ejemplo el vector 10 que sería este de aquí pero esto sería muy complicado tendría que sacar muchos senos y cosenos para determinar a dónde se va porque no tengo que esta recta no es exactamente la recta identidad no es la recta que está a 45 grados así que esto en general es más complicado esto es complicado digamos esto no es sencillo no es sencillo así que debe haber otro modo debe haber otro modo o nos gustaría que hubiera otro modo de hacer esto de manera que sea más fácil encontrar la matriz a sin tener que encontrar directamente cuánto vale la transformación en el vector 10 y en el vector 01 bien pues hagamos un breve repaso de lo que hemos visto hasta ahora de lo que sabemos después de algunos vídeos anteriores si tengo el vector x en coordenadas estándar y lo multiplicó por la matriz a entonces lo que obtengo es la transformación aplicada al vector x la imagen de x bajo la transformación eso simplemente es esta fórmula de aquí ahora bien yo sé que r2 yo sé que r2 posee múltiples bases y para cada base tengo un sistema ordenado así que para una base b yo podría escribir a x en coordenadas respecto a esa base vamos x en coordenadas respecto a la base d y yo también sé que puedo pasar de las coordenadas estándar a las coordenadas respecto a la base ve multiplicando por la inversa de la matriz de cambio base la matriz de cambio va a ser les recuerdo que simplemente es la matriz cuyas columnas son precisamente los vectores que conforman mi base ahora si tengo el vector expresado en coordenadas con respecto a la base b yo sé que existe una matriz sé que existe una matriz d tal que de multiplicada por el vector de coordenadas del vector x respecto a la base b me da las coordenadas respecto a la base b d tx llegar las coordenadas respecto a la base de la imagen bajo la transformación de x ahora de nuevo yo aquí podría pasar las coordenadas estándar de las coordenadas respecto a la base b multiplicando por la inversa de la matriz de cambio base todo podría pasar de las coordenadas respecto a la base ve a las coordenadas estándar multiplicando por la matriz de cambio base así que aquí puedo traducir estas cosas y en alguno de los vídeos anteriores en alguno de los vídeos anteriores vimos que la matriz d vimos que la matriz d tenía la forma sea la menos 1 porsche y también vimos que era posible despejar de aquí a la motriz de esta ecuación obteníamos que a tiene que ser de la forma por d por sea la menos 1 así que si encuentro en la matriz de para alguna base se encuentra la matriz de la transformación t respecto a alguna base b puedo a partir de la matriz de cambio base obtener la matriz a y quizás este problema sea más sencillo para encontrar la matriz a una vez que tengo la matriz de simplemente utilizó esta fórmula de aquí ahora bien el problema es encontrar la base adecuada de hecho en uno de los vídeos pasados cité a un maestro de álgebra que le dijo de sus alumnos que el álgebra lineal era el arte de encontrar la base adecuada así que cuál es la base adecuada en este caso pues primero que nada observemos que si la línea él fuera el eje vertical entonces reflejar sería muy sencillo si tengo este vector para reflejarlo a través del eje vertical o con respecto al eje vertical simplemente intercambio su primera coordenada por su negativo y eso me da el reflejo así que una buena idea sería tratar de hacer que el vector 12 jugará el papel del vector 0 1 también podemos notar que el vector b1 se transforma muy fácilmente si refleja el vector b 1 con respecto a la línea l entonces lo que obtengo es simplemente menos de 1 tengo el signo contrario y además tiene la ventaja de que es perpendicular a la línea l así que voy a empezar a trabajar con la base formada con la base de r2 formada por los vectores 2 - 1 recordemos el llamado de uno y como segundo vector de mi base voy a poner al 1 2 y esto va a ser director de 2 ok entonces para encontrar la matriz de la transformación respecto a la base de la matriz de lo que tengo que hacer primero es tratar de encontrar las coordenadas respecto a la base de mis vectores de 1 y b 2 es decir cuanto vale las coordenadas de v 1 dv 1 respecto a la base ve pues puedo para empezar notar que ve 1 puedo empezar por notar el factor b 1 se puede escribir como la combinación lineal uno por uno + 0 x b 2 ahora si recuerdan la definición de coordenadas respecto a una base es simplemente los coeficientes de esta combinación lineal así que las coordenadas del vector de 1 en la base b 0 y que el bebé 2 cuáles son las coordenadas de b2 respecto a la base b pues de nuevo yo creo que ustedes ya saben cuál va a ser la respuesta de dos se puede escribir como la combinación lineal 0 por b 1 más 1 por de 2 aquí el orden de la base es muy importante entonces las coordenadas respecto a la base del vector b 2 son 0 1 justo como queríamos 0 1 muy bien de hecho en general les hago aquí a una especie de comentario en general general tengo que deprima es una base de rn prima que son estoy usando 6 supongamos que es la base veo de prima es los vectores b1 b2 hasta bn y que esto es una base de rm es una base crm entonces entonces las coordenadas de cada beca respecto a la base de prima van a ser iguales a un vector de la forma 0 0 o de repente 11 y luego puros ceros de nuevo así la vuestro doctor donde el uno aparece precisamente en la k décima coordenada décima entrada perdón encima entrada ahora bien como encuentro la matriz de pues si primero observamos que la matriz de como es una transformación estamos hablando de una transformación que va de r2 en r2 entonces la matriz d matriz de tiene que tener dos columnas y de hecho dos filas también es una matriz de dos por dos así que la podemos representar por de uno de dos sus columnas son de 1 y de 2 ahora qué pasa si multiplicó la matriz d así que con la matriz de por el vector de uno en coordenadas respecto a la base b pues esto por un lado es la matriz de uno de dos multiplicada por el vector 10 y eso es simplemente la combinación lineal 1 por de 1 0 x de 2 o sea que está la de 1 el vector de 1 pero por el otro lado la matriz de tiene la propiedad de que si la multiplicó por un vector de coordenadas respecto a la base b entonces me da las coordenadas respecto a la base b de la imagen de ese vector bajo la transformación así que esto tiene que ser igual a la transformación aplicada b1 expresada y las coordenadas respecto a la base be expresada con coordenadas respecto a la base b esto es simplemente esta condición que tengo aquí abajo es lo que hace la matriz de así que de uno tiene que ser igual a las coordenadas en la base ve de la imagen de bv y qué hay de dos pues si ahora hago d por dedos depor b 2 en coordenadas respecto a la base ve de nuevo esto sería lo mismo que la matriz de uno de dos pero ahora multiplicada por el doctor 01 y esto me da 0 x de 1 por dedos que sencillamente es de 2 bien pero por el otro lado quien esté por el vector de coordenadas de veedor respecto a la base ve pues de nuevo de acuerdo con esto esto tiene que ser lo mismo que las coordenadas respecto a la base ve de el vector de la imagen del vector b 2 bajo la transformación bien pues estos son buenas noticias porque lo que quiere decir es que como la matriz de desigualdad de uno de dos ahora nosotros sabemos que de uno es simplemente las coordenadas respecto a la base de la imagen bajo la transformación en tv1 y de dos es simplemente el vector de las coordenadas respecto a la base de la imagen bajo la transformación de pedos de tv2 estos son mis dos columnas así que solo necesito encontrar cuánto valen estas dos cosas muy bien entonces cuánto vale la transformación aplicada a b1 y cuánto vale la transformación aplicada de dos pues la transformación aplicada a b1 ya habíamos visto que simplemente volteaba este vector hacia el sentido contrario 1 x 1 - y vimos que la transformación aplicada de uno era menos 21 es decir era menos de 1 y cuánto vale la transformación aplicada de dos no escribo aquí en chiquito la transformación aplicada a b2 recuerden que r2 este vector 12 es precisamente este vector pues como es un vector que ya está en la línea su reflejo es simplemente el mismo las cosas que están en el espejo no van a ninguna parte se reflejan en sí mismas entonces la transformación aplicada de 2 es de 2 nuevamente de 2 nuevamente muy bien con esto ya puedo encontrar la matriz de por qué entonces la matriz de lástima que no cabe en las dos cosas en la pantalla pero la matriz d pues simplemente son las coordenadas respecto a la base ve de tv1 la transformación aplicada de uno pero ya vimos que eso es menos de uno en coordenadas respecto a la base be y la transformación aplicada a b2 vimos que era simplemente v2 de nuevo la transformación no le hacía nada a pedos así que ahora solo necesito encontrar cuánto valen estas coordenadas pero bien b1 b1 se puede expresar como la combinación lineal - 1 por b 1 + 0 veces 2 así que las coordenadas respecto a la base de menos de 1 son sencillamente - 1 y las coordenadas de v2 ya las teníamos aquí eran 0 1 así que esta es nuestra matriz de esta es la matriz de menos 100 1 bien ahora como encuentro a partir de esto la matriz porque recuerden que lo que yo estoy buscando es la matriz y la matriz que representa t en coordenadas a estándar pues sencillamente sencillamente tengo esta fórmula tengo la fórmula a es igual a la matriz de cambio de base por la matriz de por la inversa de la matriz de cambio base así que ahora necesito la matriz de cambio de base y su inversa ahora bien la matriz de cambio de base es la matriz cuyas columnas son los vectores de mi base la matriz cuyas columnas son b1 y b2 así que la matriz de cambio de base es sencillamente la matriz 2 - 1 y quién es su inversa quienes sea la menos uno pues sea lo menos uno pues sea lo menos uno es igual a debemos calcular las inversas de matrices de dos por dos en numerosas ocasiones es sencillamente uno entre el determinante de c que sería 2 por 2 que es 4 - menos uno por uno que es menos uno sí que es cuatro más uno porque este menos se cancela con el 2 el otro menos cuatro más uno que es multiplicada por la matriz en la que intercambió los elementos de la diagonal 2 y les cambio de signo a estos dos - 1 y esa es la inversa de mi matriz de cambio de base para mí en la fórmula para la matriz me dice que es igual hace por deporte al menos uno ahora tengo que hacer es igual a ser por de force' a la menos 1 es decir vamos a usar los colores a es igual al producto de matrices de la matriz 2 1 - 12 con la matriz d precisamente la matriz menos 100 y multiplicado por la inversa de la matriz de cambio base es decir por la matriz que es igual a un quinto la matriz 2 - 1 1 2 ok cuánto me da esto primero voy a trabajar con usar un color más alegre en el amarillo vamos a hacer este producto de las dos primeras matrices como son matrices de 2 por 2 me da una matriz de 2 x 2 ahora bien la entrada 11 es el producto de la primera fila con la primera columna así que 2 x menos uno que es menos dos más uno por cero simplemente es menos 2 la entrada 12 es primera fila con segunda columna 2 por 0 más uno por uno la entrada 21 sería menos 1 x menos uno que es uno más dos por cero de nuevo aquí tengo un 1 y la entrada 22 sería menos uno por cero más dos por uno y ahora esto lo multiplicó por la matriz voy a poner en un quinto al principio porque no pasa nada como es el número real multiplicar esto por la matriz 211 2 y cuánto es esto esto es un quinto por la matriz de nuestra matriz de 2 x 2 - 2 por 2 es menos cuatro más uno por uno es menos cuatro más uno sería menos tres menos tres luego la entrada 12 sería menos 2 por menos uno que es 2 positivos más 1 por 2 2 más 2 sea 4 1 x 2 2 y 2 puntos 2 2 y 2 hombres de nuevo 4 y finalmente uno por menos uno es menos uno más dos por 234 menos uno y cuatro son tres positivos así que la matriz es sencillamente la matriz tres quintos 3 los tres quintos cuatro quintos cuatro quintos tres quintos esa es mi matriz bien así que esto fue algo interesante pude utilizar una base alternativa de r2 la base be conformada por estos vectores donde la matriz que representaban la transformación que era la reflexión con respecto a la línea l tenía una forma muchísimo más sencilla donde encontrar la matriz de fue algo más fácil y luego utilizando la matriz de cambio de base pude encontrar la matriz que representa la transformación t en coordenadas estándar es decir encontré de y a partir de encontré la matriz a que hacía precisamente esto así que esta es una aplicación bonita de las matrices de cambio base y de las bases alternativas de rn