Más sobre independencia lineal

creo que en el vídeo pasado quedó mucho más claro la idea de que eran vectores linealmente dependientes y linealmente independientes y en este vídeo lo que quiero ver es una forma un poco más matemática un poco más abstracta o algo un poco más formal una definición más formal de lo que es linealmente dependiente y bueno por ende también lo que es linealmente independiente por lo tanto me voy a tomar un conjunto de vectores me voy a tomar los vectores b1 b2 b3 esta bn este es un conjunto de vectores y bueno yo voy a decir que este conjunto es linealmente dependiente de pendiente si y sólo si pasa lo siguiente y ojo si sólo si es un operador matemático muy importante hay veces que se puede común si con una y demás ya veis que describe como una vía condicional que es esta flecha doble este conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si si pasa los siguientes hice uno por ver uno más dos por verdad más todos los demás más cn por de n es igual al vector toda esta suma es igual al vector 0 al vector 0 por lo tanto voy a poner un 0 remarcado o en su dado caso el vector 0 es aquel vector que tiene todas sus entradas ceros y bueno como no sé en qué dimensiones estamos voy a poner un vector con muchos ceros porque al final estoy hablando en forma muy general no estamos tomando unos vectores solamente en r2 r3 estamos tomando los vectores en cualquier dimensión y bueno si pasa esto entonces va a pasar esta combinación lineal o en todo caso al revés si pasa esta combinación lineal que nos dé el vector 0 entonces vamos a obtener que estos vectores son linealmente dependientes y ojo esto es válido si algunas 6 no son 0 es decir que si existe al menos una y alguna constante de todas estas constantes que tengo aquí que no es cero se cumple esto esto quiere decir que al menos una de estas constantes al menos una con una que no sea cero y se cumpla esto entonces va a pasar el sí y sólo sí es linealmente dependiente si pasa que esta combinación lineal es igual a cero al vector cero y viceversa y fíjate la importancia de que al menos 16 sea distinta de 0 porque si todas fueran 0 pues multiplicar las por un vector me daría claramente el vector 0 y bueno en el vídeo pasado yo les había dicho que un conjunto de vectores eran linealmente dependiente si al menos un vector lo podíamos ver como combinación lineal de los demás se acuerdan de que escribirlo de esta manera vamos a ponerle un poco más matemático y yo les dije en el vídeo pasado que si yo tenía un vector no sé vamos a suponer que es el vector b 1 vamos a tomarnos el vector de 1 recuerda que al final puede ser cualquier vector entonces suponiendo que el vector de uno es aquel que era linealmente dependiente de todos los demás es decir que se veía de las formas vamos a cambiar de constantes a 1 por b 2 no dejes no poner esto mejor a 2 x b 2 + a 3 x b tres más todos los demás hasta n por b n es decir veíamos que un vector era linealmente dependiente si existía una combinación lineal de todos estos vectores que precisamente nos daban este vector esto es lo que habíamos visto en el vídeo pasado se acuerdan bueno déjenme ver si realmente esta definición es congruente con lo que acabamos de decir es decir es congruente con este sí solos y si yo encuentro una combinación lineal de todos estos vectores que sea igual a cero y que alguna de estas constantes sea distinta de cero entonces ya cabe y bueno lo primero que voy a hacer es pasar a b1 del otro lado lo voy a pasar con signo negativo entonces me queda el vector 0 es igual a menos uno por b uno más a dos por b dos más a tres por detrás es más más n por b n y luego lo que hice fue pasar al vector de uno del otro lado con signo contrario o dicho de otra manera x menos uno pero fíjate qué bonito porque ya encontramos que v 1 al menos este vector está multiplicado por una constante que no es cero porque la constante que está multiplicando a uno es este menos uno por lo tanto fíjate la definición que tengo aquí a la derecha tengo que encontrar una combinación lineal de todos estos vectores que me dé el vector cero y que al menos uno con una de estas constantes que está multiplicando estos vectores sea distinta de cero por lo tanto es linealmente dependiente que crees encontré una que es distinta de cero cual menos uno menos uno está multiplicando a b1 y nos da el vector cero por lo tanto estamos dándonos cuenta que si en efecto la forma en la que veíamos linealmente dependiente en el vídeo pasado es congruente con esto que le estoy diciendo y bueno ahora qué va a pasar al revés si yo tengo este de aquí y quiero llegar a lo que vimos en el vídeo pasado a que uno de los vectores se puede escribir como combinación de los demás y ojo estoy suponiendo que al menos una de estas constantes es distinta de cero por lo tanto sin pérdida de generalidad voy a tomarme que la primer constante es distinta en 0 es decir vamos a suponer que ese 1 es distinto y bueno a continuación hacer es dividir todo en 13 1 y como sea uno es distinto de 0 no pasa nada y si puedo encontrar esta división entonces me queda b1 c2 en 13 1 por b 2 + + todos estos más se n en 13 1 es igual a 0 y bueno si ya dividí todo en 13 1 lo que voy a hacer a continuación es pasar el b1 del otro lado de esta igualdad lo voy a pasar con signo contrario estos me quedase 2 en 13 1 por b 2 + + todos estos más en en 13 1 por b n aquí no faltó el bn aquí arriba está olvidando tvn y bueno esto va a ser igual a menos de 1 porque estoy pasando al vector de uno del otro lado y bueno si yo lo que quiero es que este vector sea positivo entonces voy a multiplicar todo por menos y me queda menos de 2 en 13 1 por b 2 - - - - - - en el 13 1 por ben es igual a b uno positivo y que creen ya encontré una combinación lineal de estos vectores que me da el otro vector es decir de b2 b3 de 4 hasta bn que me dan el vector b que era justo lo que veíamos en el vídeo pasado por lo tanto esto quiere decir que también es congruente con lo que vimos en el vídeo pasado entonces vamos a ver algunos ejemplos de todo esto que acabamos de ver sobre todo de esta forma de encontrar una combinación lineal de todos los vectores con alguna de estas seis que sea distinta de cero que sea igual al vector cero para probar si el conjunto de vectores es linealmente independiente o en su dado caso linealmente dependiente vamos a ver si encontramos todas estas constantes y alguna que no sea cero entonces vamos a tomarnos el siguiente ejemplo me voy a tomar el conjunto de vectores el conjunto de vectores 2 1 y después voy a tomar el siguiente vector el vector 3 2 y bueno este conjunto de vectores que es de 2 vectores quiero saber si es literalmente dependiente o linealmente independiente y pues bueno para resolver esta pregunta vamos a utilizar lo que ya aprendimos lo que acabamos de ver vamos a tomarnos una combinación lineal de estos dos vectores ya esto vamos a igualarlo al vector 0 y esto es para fijarnos en qué es lo que va a pasar con las constantes por lo tanto tengo que ese 1 el vector 2 1 c 2 por el vector 3 2 tiene que ser igual a 0 y bueno esto es para ver si son linealmente independientes o linealmente independientes y bueno vamos a ver cuál es cada caso si yo tuviera que ese uno o dos es distinto de cero es decir no es cero entonces va implicar que es un sistema dependiente recuerdas justo esta fue la definición que vimos ahí arriba y c1 c2 era distinto de cero entonces el sistema de pendiente y date cuenta que este es el otro caso si c1 c2 no es cero pues el otro caso no queda que ese 1 y c 2 ambos sean igual a 0 entonces me queda que es un sistema independiente y bueno cómo voy a saber esto pues lo que quiero que veas es que aquí tengo una constante que multiplica un vector más otra constante que multiplica otro vector igualados al vector cero esto quiere decir que puedo igualar al componente por componente la componente x de la suma de los vectores igualdad el componente x del vector 0 y la componente y también 2 s 13 veces 2 es el vector 0 recuerda que es el vector cuyas entradas son cero y cero por lo tanto no quedaría dos veces es 13 veces 2 esto tiene que ser igual a cero esto es lo que debe de pasar para que se cumpla el primer componente y en la segunda componente me queda que una vez se 1 es decir se uno más dos veces dos tiene que ser igual también a cero y ya con esto llevó a un sistema de ecuaciones de los que ya conocemos en álgebra es un sistema de ecuaciones de dos por dos muy sencillo de realizar y esto lo podemos resolver utilizando nuestro conocimiento de álgebra por lo tanto lo que voy a hacer multiplicar a la ecuación 1 por un medio en 9 que dar c 1 + 3 medios desde 2 estoy dividiendo toda esta ecuación entre 2 es igual a cero entre 2 que es cero ya continuación que voy a hacer es restar la ecuación 2 a esta ecuación de verde me va a quedarse 11 se cancelan dos veces dos menos tres medios de ese 2 esto es lo mismo que un medio de ese 2 y 0 -0 me queda 0 y de aquí obtengo que ese 2 es igual a cero yo obtuve que la primer constante es igual a cero cuánto vale ese uno bueno si yo pongo aquí pero eso se canse y esto se va a cero y me queda que ese 10 es igual a 0 y de aquí obtengo que se 1 también en 0 y qué creés ya encontré mi valor de mis dos constantes y este valor es único cuando se 2 y c1 es igual a 0 se cumple este sistema de ecuaciones y por lo tanto se cumple esta igualdad y entonces esto qué significa que existe uno y c2 ambas son cero es que mi sistema tiene solamente vectores linealmente independientes y bueno recuerda que si tenemos un conjunto con vectores linealmente independientes entonces cuál era el espacio vectorial tiene grado por dos vectores que son linealmente independientes pues claro el espacio vectorial generado por dos vectores linealmente independientes en el caso de r2 es r 2 es decir el plano cartesiano por lo tanto lo voy a poner aquí el espacio vectorial generado por estos dos vectores es r 2 y bueno todo esto utilizando lo que acabamos de aprender utilizando que si tenemos una combinación lineal de dos vectores igualdad a cero nos tenemos que aplicar en las constantes para saber si es el sistema independiente o dependiente así que dejemos claro por ejemplo y para esto voy a necesitar un poco de espacio por lo tanto voy a mover mi pantalla hasta acá arriba y ahora la voy a mover un poco hacia la derecha y ya quedó mucho mejor perfecto voy a tomarme en esta ocasión un conjunto de tres vectores mis tres vectores van a ser los siguientes van a ser el vector 2 1 también me voy a tomar el vector 3 2 y también me voy a tomar por último el vector 1 2 y bueno lo que quiero saber es lo mismo si estos tres vectores son linealmente dependientes o independientes y bueno para esto lo que voy a hacer es utilizar lo que ya vimos lo que acabamos de ver es decir voy a buscar una combinación lineal de esos tres vectores que me den el vector cero para fijarme en las correspondientes constantes y ver si son todas cero o al menos una es distinta de cero por lo tanto déjame ponerlo c 1 que multiplica el vector 2 1 + 2 que multiplica el vector 3 2 + c 3 que multiplica el vector 1 2 esto tiene que ser igual al vector 0 0 date cuenta que seguimos con vectores nr 2 bueno esto es lo que se en un primer paso en un segundo paso es plantear el sistema de ecuaciones correspondiente a esta igualdad por lo tanto que me va a quedar tengo dos veces ese 1 porque estoy multiplicando la primera componente de mi primer vector por la primer constante entonces me quedaría dos veces 1 y después tengo que multiplicar tres veces 2 porque estoy multiplicando en la primera componente del segundo vector por mi constante entonces me queda tres veces 2 ya esto le voy a agregarse 3 y va a ser igual a la primera componente del tercero que es 0 y después voy a hacer lo mismo para la segunda componente me quedan 1 más dos veces dos más dos veces de tres esto tiene que ser igual a la segunda componente del vector 00 que es cero y ahora tengo un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y bueno de una vez te adelanto si yo tengo tres vectores en r2 el sistema es siempre dependiente y es que al final date cuenta de esto si supongamos que todos estos vectores generan el plano cartesiano entonces el otro vector existe también en el plano cartesiano pues es un vector también en r2 y por lo tanto como existe el plano cartesiano entonces se va a poder escribir como una combinación lineal de los otros vectores esto suponiendo que dos de ellos sean linealmente independientes porque si los tres fueran linealmente dependientes pues ya acabamos son linealmente dependientes y formarían una línea recta entonces si te das cuenta aquí tengo tres vectores y ya la respuesta sería que tenemos un conjunto con unos vectores linealmente dependientes y van a generar todo r2 así que déjame escribirlos si tenemos tres vectores en r dos son linealmente dependientes verdad de todas maneras aunque tengo aquí las dos ecuaciones con tres incógnitas voy a intentar resolverlo para que te des cuenta que en efecto pasa lo siguiente como tengo tres incógnitas voy a aplicar a una de estas incógnitas y voy a suponer que ese 3 le voy a dar el valor de menos 1 voy a poner que ese 13 es igual a menos 1 para que yo tenga un sistema de ecuaciones con solamente dos incógnitas y dos ecuaciones por lo tanto tenga solución entonces que me quedaría si se 3 vale menos uno bueno date cuenta que al sustituir hace 3 x menos 1 voy a obtener un sistema de ecuaciones con dos incógnitas por lo tanto debe de tener solución y ojo estoy tomando un valor para este 3 arbitrario puedo tomar cualquier valor para este 3 pues este sistema tiene tres incógnitas dos veces uno más tres veces dos menos de tres pero ese 3 es menos 1 esto va a ser igual a 0 y por otro lado tengo que ser uno más dos veces 2 y aquí es dos veces de 3 es decir menos 2 es igual a cero y bueno ya tengo un sistema de ecuaciones con 25 venitas y dos ecuaciones y por lo tanto voy a intentar resolverlo me parece que a esta ecuación a la ecuación número 2 le voy a multiplicar por 2 entonces me queda dos veces 14 veces c 2 y menos 4 igual a 0 y voy a restar la primera ecuación a la segunda ecuación que me va a quedar me queda 12 1 - 12 1 se cancelan se van después 13 2 - 4 0 2 nos quedarían menos de 2 y después 1 - 1 - menos 4 me queda 3 positivo menos 14 me queda 3 positivo y esto es igual a cero si estamos bien ahora déjame llegar 3 - 4 - c 2 pues 1 - 4 me queda 14 lo cuales 3 positivo y bueno de aquí voy a despejar hace 2 por lo tanto lo que voy a hacer es pasar a voy a pasar el 3 del otro lado iba a pasar con signo contrario me queda que menos de 2 es igual al menos 3 de grant poniendo aquí menos de 2 va a ser igual a menos 3 y como tengo dos negativos los voy a convertir en positivos al mismo tiempo y me queda que ese 2 es igual a 3 y ya tengo hace 2 pues entonces lo único que me falta es sacar hace 1 entonces qué va a pasar si la segunda ecuación yo sustituyó hace 273 y entonces me va a quedar 2 por 13-6 menos 22 por menos 1 es menos 2 esto es igual a cero y aquí obtengo que ese 14 es igual a cero y c1 es igual a menos 4 y ya tengo mis tres constantes c3 es igual a menos uno de uno es igual a menos cuatro se todos es igual a tres y al menos una es distinta de cero por lo tanto me está diciendo que existe más dependiente y además cumple que si yo multiplico sea uno por el primer rector es decir menos cuatro por el primer vector que es 21 c 2 que es 3 que multiplica el vector 3 2 ya esto le quito - una vez el vector 12 tiene que ser igual al vector 0 0 y vamos a comprobar que sí es cierto menos 4 por 2 es 8 menos 8 + 9 menos uno menos 8 más 9 menos 1 eso sí es 0 y después es menos 4 a menos 4 le voy a sumar 6 y después le voy a quitar 2 y me queda también 0 esto también es correcto entonces se nota claramente que si en efecto estas constantes hacen que obtenga una combinación lineal con esos tres vectores que sea igual al vector 0 y estas tres constantes son distintas de 0 por lo tanto me está diciendo que mi sistema es de vectores linealmente dependientes y bueno esto ya lo sabíamos aunque dejamos escribirlo esto estoy diciendo que el conjunto de vectores que tengo aquí son vectores linealmente dependientes y bueno esto es redundante ya lo sabíamos pues sabíamos que este conjunto tiene tres vectores y por lo tanto debe de existir alguno que sea linealmente dependiente de los otros dos pero escoger el que realmente es finalmente dependiente de los otros dos no es tan fácil no hay una manzana podrida en el montón todas son iguales podría ser este oeste al final podría pasarte cualesquiera dos que tomemos sean linealmente independientes pero bueno espero que le des encontrado bastante utilidad a esto que acabamos de ver porque en el siguiente vídeo voy a ver más ejemplos de esto así como del espacio vectorial que generan varios vectores