¿Cómo se diferencia un máximo de un mínimo en el uso de la función de Lagrange?

Y si obtengo un solo valor, ¿Como sé si es máximo o mínimo?

Contenido principal

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 6: Optimización restringida (artículos)

Introducción a los multiplicadores de Lagrange

La técnica de los "multiplicadores de Lagrange" es una forma de resolver problemas de optimización con restricciones. ¡Súper útil!

Antecedentes

Qué vamos a construir:

La técnica de los multiplicadores de Lagrange te permite encontrar el máximo o el mínimo de una función multivariable, $f (x, y, \dots)$ ‍, cuando hay alguna restricción en los valores de entrada que puedes usar.
Esta técnica solo se aplica a restricciones que se ven así:
$g (x, y, \dots) = c$ ‍
Aquí, $g$ ‍ es otra función multivariable con el mismo espacio de entrada que $f$ ‍ y $c$ ‍ es alguna constante.
La idea central es buscar puntos en donde las curvas de nivel de $f$ ‍ y $g$ ‍ sean tangentes entre sí.
Esto es lo mismo que encontrar puntos en donde los vectores de los gradientes de $f$ ‍ y $g$ ‍ sean paralelos entre sí.
Todo el proceso puede reducirse a hacer el gradiente de una cierta función, llamada el lagrangiano, igual al vector cero.
Paso 1: introduce una nueva variable $λ$ ‍ y define una nueva función $L$ ‍ como sigue:
$L (x, y, \dots, λ) = f (x, y, \dots) - λ (g (x, y, \dots) - c)$ ‍
Esta función $L$ ‍ se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable $λ$ ‍ se le conoce como un "multiplicador de Lagrange".
Paso 2: haz el gradiente de $L$ ‍ igual al vector cero.
$\nabla L (x, y, \dots, λ) = 0 \leftarrow Vector cero$ ‍
En otras palabras, encuentra los puntos críticos de $L$ ‍.
Paso 3: considera cada solución, las cuales se ven algo como $(x_{0}, y_{0}, \dots, λ_{0})$ ‍. Sustituye cada una en $f$ ‍. O más bien, primero quita la componente $λ_{0}$ ‍, después sustitúyela en $f$ ‍, ya que $λ$ ‍ no es una entrada de $f$ ‍. La que dé el valor más grade (o más chico) es el punto máximo (o mínimo) que estás buscando.

Un ejemplo para motivarte

Supón que quieres maximizar esta función

$f (x, y) = 2 x + y$ ‍

Pero también digamos que limitaste los valores de entrada

(x, y)

que satisfacen la siguiente ecuación:

$x^{2} + y^{2} = 1$ ‍

En otras palabras, ¿para qué punto

(x, y)

sobre el

círculo unitario

el valor de

2 x + y

es máximo?

Esto es lo que se conoce como un problema de optimización con restricciones. La condición de usar puntos que satisfacen

x^{2} + y^{2} = 1

se llama una "restricción", y

f (x, y) = 2 x + y

es la función que necesita ser optimizada.

He aquí una manera de visualizar el problema: primero dibuja la gráfica de

f (x, y)

, que se ve como un plano inclinado, pues

f

es lineal. Después proyecta el círculo

x^{2} + y^{2} = 1

verticalmente del plano

x y

sobre la gráfica de

f

. El valor máximo que buscamos corresponde al punto más alto de este círculo proyectado sobre la gráfica.

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La forma más general

En general, los problemas de optimización con restricciones involucran maximizar o minimizar una función multivariable cuya entrada tiene cualquier número de dimensiones:

$f (x, y, z, \dots)$ ‍

Sin embargo, su salida siempre será unidimensional, ya que no hay una noción clara del "máximo" para funciones con valores vectoriales.

El tipo de restricciones con los que se aplica la técnica de los multiplicadores de Lagrange debe tomar la forma de otra función multivariable

g (x, y, z, \dots)

que sea igual a una constante

c

$g (x, y, z, \dots) = c$ ‍

Como esta va a ser una restricción sobre la entrada de

f

, el número de dimensiones en la entrada de

g

es el mismo que el de

f

. El ejemplo descrito antes cumple esta forma general de la siguiente manera:

$f (x, y) = 2 x + y$ ‍

$g (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ‍

$c = 1$ ‍

Usar mapas de curvas de nivel

Razonar acerca de este problema se vuelve más fácil si visualizamos

f

no con una gráfica, sino con sus curvas de nivel.

Como un recordatorio, una curva de nivel de

f (x, y)

es el conjunto de todos los puntos donde

f (x, y) = k

para alguna constante

k

. La siguiente herramienta interactiva muestra cómo esta recta (dibujada en azul) cambia conforme la constante

k

cambia. El círculo

g (x, y) = 1

también se muestra (en rojo). Trata de hacer

k

lo más grande o más chica que puedas sin que

f

deje de intersecar el círculo.

Verificación de conceptos: ¿qué significa que para un valor particular de

k

, la recta azul que representa a

f (x, y) = k

no interseque el círculo rojo que representa a

g (x, y) = 1

Observa que el círculo

g (x, y) = 1

puede pensarse como una curva de nivel particular de la función

g

. Así que con eso, esta es la manera inteligente de pensar acerca de problemas de optimización con restricciones:

Observación clave: los valores máximo y mínimo de

f

, sujetos a la restricción

g (x, y) = 1

, corresponden a las curvas de nivel de

f

que son tangentes a la curva de nivel que representa

g (x, y) = 1

f

fuera una función diferente, sus curvas de nivel podrían no ser siempre líneas rectas. Esto pasa en nuestro ejemplo, pues

f

es lineal. Por ejemplo, mira esta función:

$f (x, y) = 2 x^{2} + \sqrt{5 y}$ ‍,

Sus curvas de nivel se ven así:

Dicho esto, la observación clave se mantiene y vale la pena repetirla: cuando

k

es un máximo o un mínimo de

f

sujeto a la restricción, la curva de nivel de

f (x, y) = k

será tangente a la curva que representa

g (x, y) = 1

Dónde entra en juego el gradiente

¿Cómo reflejar, en una fórmula que podamos resolver, la idea de que dos curvas de nivel sean tangentes?

Para responder esto, recurrimos a nuestro fiel amigo el gradiente. Hay muchas maneras de interpretar

\nabla f

: la dirección de ascenso más pronunciado, una herramienta para calcular derivadas direccionales, etc. Pero para nuestro propósito, la propiedad que nos interesa es que el gradiente de $f$ ‍ evaluado en el punto $(x_{0}, y_{0})$ ‍ siempre da un vector perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto.

Esto significa que cuando las curvas de nivel de dos funciones

f

g

son tangentes, sus vectores gradientes son paralelos. Así es como se podrían ver para dos funciones arbitrarias

f

g

El hecho de que las curvas de nivel sean tangentes no nos dice nada acerca de la magnitud de cada uno de estos vectores gradientes, pero eso está bien. Cuando dos vectores apuntan en la misma dirección, significa que podemos multiplicar cualquiera de los dos por una constante para obtener el otro. Específicamente, sea

(x_{0}, y_{0})

un punto particular donde las curvas de nivel de

f

g

son tangentes (escribir

x_{0}

y_{0}

con subíndices

0

solo indica que estamos considerando valores constantes y, por lo tanto, un punto específico). Ya que esta tangencia significa que los vectores gradientes se alinean, esto es lo que podrías escribir:

$\begin{array}{r} \nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} \nabla g (x_{0}, y_{0}) \end{array}$ ‍

Aquí,

λ_{0}

representa alguna constante. Hay autores que usan una constante negativa

- λ_{0}

, pero preferimos una constante positiva, pues se obtiene una interpretación más limpia de

λ_{0}

Veamos cómo se ve esto en nuestro ejemplo, donde

f (x, y) = 2 x + y

and

g (x, y) = x^{2} + y^{2}

. El gradiente de

f

$\begin{array}{r} \nabla f (x, y) = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} (2 x + y) \\ \frac{\partial}{\partial y} (2 x + y) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍

y el gradiente de

g

$\begin{array}{r} \nabla g (x, y) = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + y^{2} - 1) \\ \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y^{2} - 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x \\ 2 y \end{array}] \end{array}$ ‍

Por lo tanto, la condición de tangencia termina por verse así:

$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] = λ_{0} [\begin{array}{c} 2 x_{0} \\ 2 y_{0} \end{array}] \end{array}$ ‍

Resolver el problema en el caso específico

Para resumir en donde estamos hasta ahora, buscamos puntos de entrada

(x_{0}, y_{0})

con las siguientes propiedades:

$g (x_{0}, y_{0}) = 1$ ‍, que para nuestro ejemplo significa
$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1$ ‍
$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} \nabla g (x_{0}, y_{0})$ ‍ para alguna constante $λ_{0}$ ‍, que para nuestro ejemplo significa
$\begin{aligned} 2 & = 2 λ_{0} x_{0} \\ 1 & = 2 λ_{0} y_{0} \end{aligned}$ ‍

Hay

3

ecuaciones con

3

incógnitas, así que podemos encontrar una solución.

El enfoque será primero resolver para

λ_{0}

, después usar la solución para encontrar

x_{0}

y_{0}

Al usar las últimas dos ecuaciones de arriba, escribimos

x_{0}

y_{0}

en términos de

λ_{0}

$\begin{aligned} 2 & = 2 λ_{0} x_{0} \Rightarrow x_{0} = \frac{1}{λ_{0}} \\ 1 & = 2 λ_{0} y_{0} \Rightarrow y_{0} = \frac{1}{2 λ_{0}} \end{aligned}$ ‍

Para ahora hacer uso de la tercera ecuación, sustituye estos resultados en la ecuación

x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1

\begin{aligned} {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} & = 1 \\ {(\frac{1}{λ_{0}})}^{2} + {(\frac{1}{2 λ_{0}})}^{2} & = 1 \\ \frac{1}{λ_{0}^{2}} + \frac{1}{4 λ_{0}^{2}} & = 1 \end{aligned}

Para quitar

λ_{0}

de los denominadores, multiplicamos todo por

4 λ_{0}^{2}

y simplificamos.

\begin{aligned} 4 + 1 & = 4 λ_{0}^{2} \\ \frac{5}{4} & = λ_{0}^{2} \\ \pm \sqrt{\frac{5}{4}} & = λ_{0} \\ \frac{\pm \sqrt{5}}{2} & = λ_{0} \end{aligned}

Al usar las expresiones para

x_{0}

y_{0}

en términos de

λ_{0}

que encontramos arriba, estas dos soluciones corresponden con los pares

$\begin{aligned} (x_{0}, y_{0}) & = (\frac{1}{λ_{0}}, \frac{1}{2 λ_{0}}) \\ = (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}) o (\frac{- 2}{\sqrt{5}}, \frac{- 1}{\sqrt{5}}) \end{aligned}$ ‍

Podemos ver cuál de estos es un punto máximo y cuál es un mínimo al sustituir estas soluciones en

f (x, y)

y ver cuál es más grande.

\begin{aligned} f (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}) & = 2 \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \\ = \frac{5}{\sqrt{5}} \\ = \sqrt{5} \leftarrow Máximo \\ f (- \frac{2}{\sqrt{5}}, - \frac{1}{\sqrt{5}}) & = 2 \frac{- 2}{\sqrt{5}} + \frac{- 1}{\sqrt{5}} \\ = \frac{- 5}{\sqrt{5}} \\ = - \sqrt{5} \leftarrow Mínimo \end{aligned}

La función lagrangiana

En los 1700s, nuestro amigo Joseph Louis Lagrange estudió problemas de optimización con restricciones de este tipo, y encontró una manera muy inteligente para expresar todas nuestras condiciones en una sola ecuación.

Puedes escribir estas condiciones de manera general al decir que estamos buscando constantes

x_{0}

y_{0}

λ_{0}

que satisfagan las siguientes condiciones:

La restricción:
$g (x_{0}, y_{0}) = c$ ‍
La condición de tangencia:
$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} \nabla g (x_{0}, y_{0})$ ‍.
Esto se puede dividir en sus componentes como sigue:
$f_{x} (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} g_{x} (x_{0}, y_{0})$ ‍
$f_{y} (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} g_{y} (x_{0}, y_{0})$ ‍

Lagrange escribió una nueva función especial que toma las mismas variables de entrada que

f

g

, junto con

λ

, que ahora pensamos como una variable en lugar de una constante.

$L (x, y, λ) = f (x, y) - λ (g (x, y) - c)$ ‍

Por ejemplo, considera nuestro ejemplo anterior.

\begin{aligned} f (x, y) & = 2 x + y \\ g (x, y) & = x^{2} + y^{2} \\ c & = 1 \end{aligned}

Así es cómo se vería esta nueva función:

$L (x, y, λ) = 2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1) .$ ‍

Observa que la derivada parcial de

L

con respecto a

λ

- (g (x, y) - c)

\begin{aligned} L_{λ} (x, y, λ) & = \frac{\partial}{\partial λ} (f (x, y) - λ (g (x, y) - c) \\ = 0 - (g (x, y) - c) \end{aligned}

Así que podemos traducir la condición

g (x, y) = c

como

\begin{array}{r} L_{λ} (x, y, λ) = - g (x, y) + c = 0 \end{array}

Es más, mira lo que obtenemos cuando hacemos una de las derivadas parciales igual a

0

\begin{aligned} L_{x} (x, y, λ) & = 0 \\ \frac{\partial}{\partial x} (f (x, y) - λ (g (x, y) - c)) & = 0 \\ f_{x} (x, y) - λ g_{x} (x, y) & = 0 \\ f_{x} (x, y) & = λ g_{x} (x, y) \end{aligned}

¡Eso resulta ser otra de nuestras otras condiciones! De manera casi idéntica, la condición

L_{y} (x, y, λ) = 0

se revela como

\begin{array}{r} f_{y} (x, y) = λ g_{y} (x, y) \end{array}

Juntas, estas condiciones son lo mismo que decir

\begin{array}{r} \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) \end{array}

Por lo tanto, las tres condiciones que necesitamos resolver para encontrar

x, y

λ

se resumen a que las derivadas parciales de

L

sean iguales a

0

. Esto se puede escribir de manera extremadamente compacta al hacer el gradiente de

L

igual al vector cero:

\begin{array}{r} \nabla L = 0 \end{array}

Por ejemplo, con nuestras funciones específicas de arriba, vemos que esto conforma el sistema de ecuaciones que tenemos que resolver:

\begin{array}{r} \nabla L = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} (2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1)) \\ \frac{\partial}{\partial y} (2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1)) \\ \frac{\partial}{\partial λ} (2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1)) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 - 2 λ x \\ 1 - 2 λ y \\ - x^{2} - y^{2} + 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] \end{array}

Como un tributo a Joseph Louis, a esta función

L

la llamamos el "lagrangiano", y la nueva variable

λ

que introdujimos se llama un "multiplicador de Lagrange". Imagínate que alguien le agregara "iano" al final de tu apellido y lo hiciera el nombre de una función que todo mundo usa. ¡Genial!, ¿no?

Advertencia: algunos autores usan la convención en la que invierten el signo de

λ

\begin{array}{r} L (x, y, λ) = f (x, y) + λ (g (x, y) - c) \end{array}

Esto no hace ninguna diferencia cuando se trata de resolver el problema, pero debes tenerlo en mente si el curso que estás tomando o el texto que estás leyendo sigue esta convención.

Nota al margen: ¿qué pasa si la restricción no es tan restricitva?

Hay un leve giro a esta historia, que se ilustra mejor con un ejemplo.

Supongamos que necesitamos maximizar la función

\begin{array}{r} f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})} \end{array}

Sujeto a la restricción

\begin{array}{r} g (x, y) = x - y = 0 \end{array}

La gráfica de

f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})}

es una "curva de campana", con una protuberancia redonda encima del punto

(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)

, como se ve en la imagen de arriba.

Esta restricción se puede ver como una línea recta diagonal en el plano

x y

(mostrada en rojo).

Lo que hace que este problem sea un poco tonto es que el punto máximo (sin restricción)

(0, 0)

f

ya satisface la restricción

g (x, y) = 0

, ya que

\begin{array}{r} g (0, 0) = 0 + 0 = 0 \end{array}

Podría parecer que esto nos facilita la cosas. Después de todo, no tener que preocuparse acerca de la restricción debería ser más simple que tomarla en cuenta, ¿no? Sin embargo, si tú (o de manera más realista, una computadora) estuvieras resolviendo un problema de optimización con restricciones, no es como si primero fueras a encontrar el máximo sin restricciones, revisar si se ajusta a la restricción y luego seguir con la técnica del multiplicador de Lagrange. Simplemente empezarías con el enfoque del multiplicador de Lagrange, pues casi nunca es el caso que el máximo sin restricción sea también es el máximo con restricción.

Resulta que la técnica del multiplicador de Lagrange aún funciona cuando el máximo con restricción también es un máximo sin restricción. La razón es un poco sutil ya que nuestro argumento anterior de curvas de nivel y tangencia no aplica del todo.

Por ejemplo, vamos a jugar un poco con las curvas de nivel que representan a

e^{- (x^{2} + y^{2})} = k

, a medida que

k

varía de

0.5

1

La curva de nivel que representa

e^{- (x^{2} + y^{2})} = k

siempre cruza la recta

x - y = 0

, y esta curva de nivel se encoge a un punto cuando

k

crece lo más posible. Anteriormente dijimos que las curvas de nivel serían tangentes cuando

f

alcanzara su máximo con restricciones, pero no suena bien decir que un punto sea tangente a una recta.

¿Entonces por qué esto no es un problema?

f

alcanza un máximo local sin restricciones en algún punto

(x_{0}, y_{0})

, su gradiente en ese punto será

0

\begin{array}{r} \nabla f (x_{0}, y_{0}) = 0 \end{array}

Puedes pensar en esto como decir que el plano tangente en un máximo local es horizontal.

En este caso, la propiedad

\begin{array}{r} \nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ \nabla g (x_{0}, y_{0}) \end{array}

aún se cumple, pues podemos hacer

λ = 0

Una manera divertida de pensar en esto es decir que un punto es "tangente" a todas las rectas que pasan por él en el mismo sentido en que el vector cero es "proporcional" a todos los demás vectores.

Así que la técnica del multiplicador de Lagrange no solo consolida de manera inteligente muchas condiciones en la ecuación

\begin{array}{r} \nabla L = 0, \end{array}

también automáticamente toma en cuenta este caso extremo!

Resumen

Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función multivariable

f (x, y, \dots)

sujeta a la restricción de que otra función multivariable sea igual a una constante

g (x, y, \dots) = c

, sigue estos pasos:

Paso 1: introduce una nueva variable $λ$ ‍ y define una nueva función $L$ ‍ como sigue:
$L (x, y, \dots, λ) = f (x, y, \dots) - λ (g (x, y, \dots) - c)$ ‍
Esta función $L$ ‍ se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable $λ$ ‍ se le conoce como un "multiplicador de Lagrange".
Paso 2: haz el gradiente de $L$ ‍ igual al vector cero.
$\nabla L (x, y, \dots, λ) = 0 \leftarrow Vector cero$ ‍
En otras palabras, encuentra los puntos críticos de $L$ ‍.
Paso 3: considera cada solución, que se ve algo así como $(x_{0}, y_{0}, \dots, λ_{0})$ ‍. Sustituye cada uno en $f$ ‍. O, más bien, primero quita la componente $λ_{0}$ ‍ y luego sustituye cada uno en $f$ ‍, pues $f$ ‍ no tiene $λ$ ‍ como valor de entrada. El que te de el valor más grande (o más pequeña) es el punto máximo (o mínimo) que buscas.

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Oinotna Zerimar
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “¿Cómo se diferencia un má...” de Oinotna Zerimar
¿Cómo se diferencia un máximo de un mínimo en el uso de la función de Lagrange?
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- Adonis
  Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Y si obtengo un solo valo...” de Adonis
  Y si obtengo un solo valor, ¿Como sé si es máximo o mínimo?
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rodrigonzalez097
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Hola. Tengo una pregunta ...” de rodrigonzalez097
Hola. Tengo una pregunta respecto a la función de Lagrange. Se tiene la condición de que (Ly denota a la derivada del lagrangiano respecto a y) y*Ly = 0. luego se tiene que para que esto se cumpla (y=0 y Ly<0) o (y>0 y Ly=0). Lo mismo ocurre en el caso de que se tome x*Lx. Mi pregunta es: gráficamente, ¿qué significa esto? ¿Cual es la interpretación que tienen estas restricciones? Muchas gracias.
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Farfan Huamani Carlos Andres
Publicado hace hace 5 meses. Enlace directo a la publicación “Buen ejemplo para aplicar...” de Farfan Huamani Carlos Andres
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excelemte
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