Ejemplo de multiplicadores de Lagrange. Parte 2

bien nos habíamos quedado en estas dos ecuaciones que queremos resolver y en ellas hay tres incógnitas tenemos a am como la cantidad de toneladas de acero y luego tenemos a h como las horas de mano de obra am y tenemos esta lambda que es el multiplicador de lagrange que básicamente es una constante de proporcionalidad entre estos dos vectores gradientes entre el vector gradiente de la función de ingreso y el vector gradiente de la función restricción bueno aquí tenemos dos ecuaciones pero siempre hay una tercera ecuación con la que estamos trabajando que es justo está la ecuación de restricción en sí entonces déjame bajar un poco la pantalla para que por acá sigamos trabajando con estas ecuaciones y para trabajar estas ecuaciones lo que voy a hacer es simplificar un poco esta expresión y la forma en la que la voy a simplificar es introduciendo una nueva variable a esta nueva variable le voy a poner el nombre de un y es que le voy a poner el nombre de um porque observa lo siguiente aquí tenemos a / h elevados a la misma potencia entonces sí digo que un es simplemente am / h esto se va a simplificar bastante porque entonces esta primera ecuación me quedaría de la siguiente manera me va a quedar como 200 tercios doscientos tercios que multiplican aa sobre h elevado a la un tercio aa sobre h elevado a un tercio es decir un elevado a la potencia un tercio y bueno esto es igual a 20 veces lambda y esta segunda ecuación me va a quedar de la siguiente manera si hago este cambio de variable me quedaría 100 tercios 100 tercios que multiplica y aquí tengo h sobre a entonces aquí va a ser un elevado a la menos dos tercios y observa que estoy poniendo a la menos dos tercios porque aquí tenemos cambiados h aquí tenemos sobre h y aquí a h sobre am por lo tanto me queda con potencia negativa y bueno claro esto es igual a 2000 lambda a 2000 ok creo que esto ya se ve mucho más fácil de resolver tengo dos ecuaciones y dos incógnitas ahora lo que se me ocurren es quitar estas constantes del lado izquierdo y para eso voy a multiplicar de ambos lados por su recíproco es decir voy a multiplicar toda esta ecuación por 3 entre 200 y bueno si hago esto me va a quedar lo voy a escribir aquí me va a quedar un elevado al a un tercio esto igual a 20 lambda por 3 entre 200 bueno 20 entre 200 eso es lo mismo que un 10º 11º por tres son tres decimos tres décimos de lambda ok esto se ve un poco más simplificado y por otra parte tengo esta ecuación de abajo que voy a multiplicar de ambos lados por 3 entre 100 para cancelar esta parte y entonces estos se cancelan y me queda simplemente un elevado a la menos dos tercios ok esto igual y bueno 2000 entre 100 es 20 20 por 360 a 60 a landa ok ahora puedes ver que estas dos ecuaciones son algo parecidas entre sí ya que son de la forma o elevado de alguna potencia igual a algo por lambda algo tienen de parecido así que estaría muy bien si dejamos de este lado solamente y para hacer esto voy a multiplicar ambas ecuaciones por un elevado a la dos tercios sin multiplicó por la primera observa que de este lado me va a quedar simplemente 1 y sin multiplicó por la segunda me va a quedar bueno aquí me va a quedar 1 y seguramente vas a decir oye pero pasa del otro lado pero del otro lado me va a quedar lambda que multiplica a un elevado a la dos tercios así que vamos a hacerlo si multiplicó la primera por un elevado a las dos tercios vamos a hacerlo un elevado a la dos tercios entonces de aquí voy a obtener lo siguiente voy a obtener bueno igual a un tercio por igualdad dos tercios es simplemente uno y esto va a ser igual a tres decimos de lambda ok por un ala dos tercios muy bien y si a esta segunda ecuación la multiplicó por o elevado a la dos tercios que voy a obtener bueno déjenme bajar un poco la pantalla porque esta segunda ecuación me va a quedar de la siguiente manera me va a quedar como estos dos se cancelan y me queda simplemente uno igual a 60 lambda que multiplica a un elevado a las dos tercios muy bien ok ahora puedes ver que el lado derecho es bastante parecido en ambas ecuaciones y por otra parte el lado izquierdo es bastante sencillo así que voy a multiplicar todo lo necesario para transformar esta primera actuación en algo que tenga exactamente lo mismo del lado derecho es decir 60 por lambda por un elevado a las dos tercios ahora si observas tenemos aquí lambda por un elevado a las dos tercios entonces hay que multiplicar por algo este tres décimos para llegar a 60 y bueno pueden multiplicar toda esta ecuación por bueno primero necesito quitar estos 10 de abajo entonces voy a multiplicar todo por 10 ok esto se cancela y después tengo simplemente 33 para 60 habrá que multiplicarlo por 20 entonces se multiplicó toda esta primera actuación por 10 y por 20 me voy a obtener bueno en 20 por 10 201 lo voy a poner aquí 201 igual a 10 por 20 por tres décimos es lo mismo que 60 lambda por un lambda por un elevado a la dos tercios ok esta es mi primera actuación y mi segunda ecuación la voy a dejar igual 1 igual a 60 por lambda por un elevado a la dos tercios muy bien y ahora si estas dos partes son iguales entonces estos dos lados izquierdos deben de ser iguales dicho otra manera 201 debe de ser igual a 1 ya que estas dos cosas eran igual a estos lados complicados y ahora voy a recordar que uno es igual a entre h entonces esto me va a quedar como 200 que multiplican a am / h esto es igual a 1 ok ok de aquí puedo obtener esto va a ser lo mismo que 200 a 200 y esto es igual a h ok o h es igual a 200 am así que voy a ocupar esta ecuación para poder obtener aa h de que ya tengo una ecuación muy fácil de trabajar ahora mi segunda ecuación que también va a ser muy fácil de trabajar va a ser justo esta otra que tenemos aquí va a ser la función del presupuesto esta que tenemos aquí así que déjame atraparla me la voy a copiar y la voy a pegar déjame bajar de nuevo la pantalla y ahora voy a traer a esa otra ecuación justo para acá déjame pegarla y bueno esta va a ser la segunda ecuación con la que vamos a trabajar de lujo recuerdan 20 pesos que multiplican a cada hora demanda de obra más 2 mil pesos que multiplican a cada tonelada de acero para crear nuestros dispositivos esto era igual a nuestro presupuesto que era 20 mil y ahora voy a sustituir en esta ecuación que tengo aquí esta información que acabamos de obtener porque si 200 es igual a h entonces me quedaría que 20 que multiplica a h pero h 200 am entonces 20 que multiplica a 200 a esto que a su vez ésta ha sumado con 2000 esto tiene que ser igual a 20 mil a 20 mil entonces 20 por 200 es lo mismo que 4 mil 4 mil a más 2000 esto tiene que ser igual a 20.000 ok o dicho de otra manera seis mil a seis mil y tiene que ser igual a veinte mil y si ahora queremos despejar de aquí entonces voy a obtener que am es igual a veinte mil entre 6000 cancelamos todos los ceros y me queda veinte entre seis y diez tercios diez tercios entonces este es el valor de amd que nosotros buscábamos a igual a diez tercios si ya tenemos esta información déjame ponerlo a es igual a diez tercios entonces cómo puedo obtener ahora el valor de h bueno pues lo tengo aquí h es igual a 200 pero am vale 10 tercios entonces h va a ser igual a 200 por 10 tercios y bueno h entonces va a ser igual a 2000 tercios 2000 tercios que son justos la cantidad de horas de mano de obra que queremos mientras que amd es justo la cantidad de toneladas que necesitábamos entonces si nosotros regresamos a nuestro ejercicio original este que teníamos por acá arriba donde teníamos una función de ingreso r que dependía de h idea y era este de aquí con 20 pesos por hora de mano de obra y 2 mil pesos por tonelada cero y un presupuesto de 20 mil pesos entonces la distribución que deberías hacer en tu presupuesto sería justo esta que tengo aquí comprar 10 tercios de toneladas de acero y gastar en dos mil tercios de horas de mano de obra y así vas a obtener el ingreso mayor