Construir un vector unitario normal a una curva

digamos que tenemos una curva r y que vamos a parametrizar de la siguiente forma tenemos su vector de posición o su función vectorial de posición digamos r que depende de t va a ser igual a equis de t en la dirección del vector y más 7 en la dirección del vector j y por supuesto estamos pensando en una curva en dos dimensiones y que está contenida en el plano entonces vamos a vamos a hacer digamos la gráfica una gráfica digamos muy general de esta curva y un poquito ahí está un eje el eje y y aquí está el eje x el eje x y digamos que nuestra curva a medida que avanza el tiempo se mueve de esta forma ok esta es nuestra curva r se mueve en esta dirección ok entonces lo que quiero hacer en este vídeo que será más bien un vídeo de álgebra vectorial más que de cálculo es poder ver un vector normal en la curva en particular que sea unitario es decir que tengamos un vector aquí en este lugar esto no se ve muy normal ok que tengamos un vector aquí y vamos a llamarle n y este vector debe ser ortogonal es decir que sea que haga un ángulo de 90 grados con la curva eso es lo que estamos buscando pero bueno vamos a revisar esto de cómo hacerlo porque por ejemplo podríamos pensar mucho como lo hacíamos en cálculo en de una variable es decir queremos ver la pendiente de una curva entonces lo que vamos a hacer es fijarnos en un vector digamos inicial aquí digamos este es r uno para algún tiempo inicial y pensemos ahora en un tiempo final digamos en este otro vector r 2 ok estamos pensando que a medida que avanzó el tiempo nos movimos un poco más en la curva y entonces tenía conseguimos este otro vector r2 muy bien entonces lo que vamos a hacer es pensar en el vector como una forma de aproximar un vector tangente pues es pensar en en la diferencia de estos dos no digamos los el vector que se junta estas dos puntas de la flecha y estamos pensando en un vector tangente porque si tenemos un vector tangente podemos obtener a partir de eso un vector perpendicular a él y que ya sabemos hacerlo entonces por eso es que estamos buscando hacer un vector tangente déjenme hacerlo mucho mejor porque nuestra primera aproximación podría ser esta que sea considerar este vector que pues podemos llamarle delta r es decir el cambio en el en el vector de posición y a partir de esto si nosotros vamos aproximando r2 para que se vaya apareciendo a r1 este vector delta r deberá parecerse al final a nuestro vector o más bien no deberá parecerse sino que en el límite es decir cuando esté r 12 juntas suficientemente cerca a r 1 vamos a tener un vector tangente que apuntará en esta dirección ok a este a este vector es el que vamos a llamarle de r a este morado que es el vector tangente de r es un vector tangente pueden haber muchos verdad depende por ejemplo de la magnitud o del sentido hacia donde estén dirigidos pero bueno este es uno de los vectores tangente gente ahí está en este punto en particular muy bien entonces como vamos ahora a considerar nuestro vector porque por ejemplo este vector tangente lo podemos escribir como de r pues es nuestro pequeño cambio en la dirección x más un pequeño cambio en la dirección y es verdad que está dado por la dirección de los vectores y de j entonces un vector orton como como podríamos conseguir un vector ortogonal a éste pensemos supongamos que aquí tenemos nuestro vector de r aquí está nuestro vector de r y lo podemos descomponer en sus dos componentes es en su componente y en su componente j entonces por ejemplo vamos a hacer su componente en la dirección j que es en la dirección vertical este vector ok hacia arriba aquí tenemos a d y en la dirección del vector j y también tenemos su componente su componente en la dirección del vector y es decir en la dirección x éste es de x por iu y de hecho no tenemos que de x es negativo porque apunta hacia la izquierda verdad entonces una forma digamos tenemos dos posibles vectores ortogonales a este de verdad porque tenemos este vector o tenemos este otro vector para fines de este vídeo me voy a quedar con el que apunta hacia la derecha pero hay que tener muy claro que podemos tener dos vectores normales posibles vamos a concentrarnos sólo en el derecho y voy voy a hacerlo en un tamaño más grande para que quede más claro entonces tenemos digamos aquí nuestro vector de r este va a ser de r y dijimos que vamos a descomponer la verdad en dos en sus dos en sus dos componentes y esto es un poquito complicado rectas muy bien este me gustó mucho entonces en esta dirección dijimos tenemos a day en la dirección del vector j y del otro lado vamos a tener vamos a hacerlo igual con azul en esta dirección tenemos de x en la dirección del vector y entonces nosotros sabemos muy bien que si yo quiero obtener un vector ortogonal lo único que tengo que hacer es cambiar e intercambiar el papel de x y de belle y algunos de ellos cambiarles el signo entonces por ejemplo si yo cambio el papel de belle es decir que no vaya en la dirección vertical sino que ahora vaya en la dirección horizontal vamos a pintarlo aquí y ahora está en la dirección horizontal esto estamos pensando que es de iu pero en la dirección del vector y y ahora si yo quiero que mi vector normal apunte digamos en esta dirección necesito que de x ahora apunte hacia arriba pero como están apuntando hacia la izquierda y eso es negativo y yo quiero que apunte hacia arriba que es positivo voy a necesitar cambiarle el signo si yo solo cambiara de equis y lo multiplicó por jota como de equis es negativo apuntaría hacia abajo y eso no es lo que quiero yo necesito que apunte hacia arriba entonces vamos a poner aquí a de x de x con un signo menos para que de esta forma sea positivo y apunte en la dirección vertical pero hacia arriba entonces ya que tenemos estos dos ahora la suma de estos dos nos debe dar un vector normal este es nuestro vector normal aquel que tiene como componente ave y en la dirección y ya menos de equis en la dirección j y esto ya lo habíamos visto en los vídeos de vectores y de perpendicularidad y demás entonces este vector normal que voy a llamarle a va a ser igual a de i d y en la dirección i menos menos de x en la dirección j y este es uno de los vectores normales que yo puedo encontrar todavía me falta normalizar lo que significa que su norma sea 1 entonces lo que vamos a hacer es dividir entre la norma de a para que ya tengamos una norma 1 y quien es la norma de a quien es la norma o el tamaño de a recuerden que hay gente que lo pone con una sola barra a mí me gusta poner dos barras porque así no nos confundimos con el valor absoluto pero esto simplemente es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes entonces tenemos nuestra componente de x al cuadrado que podría ponerle al menos pero con el cuadrado simplemente se cancela de todo esto al cuadrado y que si recuerdan muy bien cuando estamos calculando longitudes longitudes de arco y demás esto no es otra cosa más que un cambio infinitesimal en la longitud de arco y que lo denota vamos como de ese muy bien entonces ahora ya podemos decir que nuestro vector normal unitario en l voy a poner este gorrito porque es unitario este vector normal va a ser el vector a que no es otra cosa más que deje de ir en la dirección y menos de x en la dirección j pero dividido entre la norma de a que como ya observamos es de s él infinitesimalmente pequeño cambio en la longitud de arco de esta forma pudimos construir ya un vector normal unitario sobre cualquier punto de la curva