Demostración del teorema de Stokes (parte 5)

ahora que ya tenemos una parametrización para la frontera de nuestra superficie de aquí arriba vamos a pensar un poco en la integral de línea que estaba a la izquierda de nuestro enunciado original del teorema de stocks esencialmente el lado izquierdo tenía la integral a lo largo de una curva sé que es la frontera de nuestra superficie del campo vectorial efe punto de r donde está de repusiera venía de la parametrización es la diferencial de nuestra función r que parametrizar la curvas y recordemos quiénes f se estaba dado al inicio del problema aquí está por el campo vectorial que tiene como entradas a pq y ere que son funciones de x de iu y de zeta entonces ya habiendo recordado todo esto vámonos esencialmente a lo que queremos bueno recordemos quién es primero de r porque de r es no es otra cosa más que la derivada de r respecto de t por de t ok esto nos permite pasar la integral de línea a una integral sobre la región de los del parámetro t que esencialmente se mueve entre a y b entonces nada más veamos entonces quién es la derivada de r con respecto de t porque esto simplemente es derivar cada una de las entradas respecto de t entonces tenemos la la derivada de x la derivada de x respecto de t en la primera coordenada más la derivada de g respecto de t en la segunda coordenada más y aquí esto puede ser un poquito más complicado porque z depende de xy de ya que a la vez cada una de ellas dependen de t entonces tenemos que pensar realmente en todas las formas en las que z puede cambiar respecto de t entonces déjenme déjenme hacerlo de la siguiente forma la derivada de z con respecto de t simplemente lo podemos ver bueno cómo puede cambiar respecto de este cambiando primero respecto de x verdad entonces esto sería la parcial la parcial de zeta respecto de x la derivada de x respecto de t también puede cambiar respecto de t al variar respecto desde entonces esto será la parcial de z respecto de y por la derivada de y respecto de t esto no es otra cosa más que la regla de la cadena en varias variables verdad entonces ya que tenemos esto aquí podemos sumar el es la derivada de 7 respecto de t entonces hay que sumar selo a esta expresión y multiplicarlo por nuestro vector acá pero voy a hacerlo con una anotación que que coincide un poquito más con lo que estamos haciendo aquí arriba y ya no lo encuentro era aquí estaba no las derivadas respecto de xy de que lo vamos a poner como subíndices entonces esto será la derivada de zeta respecto de x por la derivada de x respecto de t más la derivada de zeta respecto de y por la derivada de y respecto de t y todo esto multiplica a nuestro vector está ok entonces esto es la diferencial de r multiplicada bueno más bien esta derivada al multiplicarlo por la diferencial de t nos da la diferencial de r que es justamente la que queremos calcular aquí entonces vamos a reescribir esto vamos a reescribir esto porque ya al pasarlo en términos de los parámetros tendremos la integral sobre la región de los parámetros que simplemente es el intervalo a ver porque te se mueve entre a y b ok de bueno recordemos también que f nuestro campo vectorial efe simplemente es la función p en la primera coordenada más la función como en la segunda coordenada más r en la tercera coordenada entonces si hacemos el producto df con de r simplemente será el producto de este de este vector con este otro y multiplicamos por de t entonces tendremos p que multiplica derivada derivada de x con respecto de t más que multiplica a la derivada de y voy a ponerlo con el mismo color la derivada de y con respecto de t y aquí es en donde viene la parte interesante porque vamos a multiplicar r&r por esta otra parte ok por z x la derivada de x respecto de t más detalle que multiplica la derivada de y respecto de t y todo esto hay que multiplicarlo por la diferencial de t correcto entonces ahí los voy a dejar en este vídeo solo porque tenemos llegar a hacer algunos errores así que lo que haremos ahora es reacomodar toda esta cosa y reconocer que que esta última parte que obtuvimos en en vídeos anteriores nos da una forma en la que podemos aplicar el teorema de greene usándolo en la frontera c1 que es la que encierra a la región r y luego haremos más manipulaciones algebraicas para ver que está integrada al final se simplifica a lo que queríamos demostrar inicialmente y que es igual a esta expresión