Integral de superficie. Ejemplo 2 (parte 1)

vamos a calcular otra integral de superficie y he cambiado un poquito la anotación en vez de escribir la superficie como sigma mayúscula lo puse como una s mayúscula y en vez de poner de sigma minúscula la puse de ese ok entonces pero esencialmente a una es una integral de superficie de la función y la superficie que nos interesa es esta la superficie dada por los puntos que satisfacen esta ecuación x massieu cuadrada menos zeta igual a cero donde x se mueve entre 0 y 1 y ya toma valores entre 0 y 2 ok esta esta puede que sea más directa que la anterior o al menos eso espero y esto es porque podemos expresar a z como función de xy de es decir de aquí si la zeta la pasamos del otro lado tendríamos que zeta es igual a x y cuadrada entonces se está esencialmente es la función una función que depende de dos variables y por lo tanto la superficie que estamos pensando es la gráfica de esta función entonces vamos a ver cómo se vería esto digamos y aquí pongo el eje zeta déjenme quizás hacerlo no tan grande aquí está digamos este es el eje z vamos a pintar también el eje x y el eje y aquí está espero que sea muy claro mi dibujo estoy haciendo mi mejor esfuerzo y x estamos diciendo que se mueve entre 0 y 1 entonces si aquí anda el 0 acá puede andar el 1 y ya se mueve entre 0 y 2 entonces por ejemplo aquí puede estar el 1 y acá puede estar el 2 por lo tanto en realidad en la región sobre el plano xy de la que estamos hablando pues es esencialmente todos estos valores verdad todos estos valores es este rectángulo en donde nos estamos moviendo es la región en donde está definido xy ahora quién es la superficie bueno eso tampoco es muy difícil de ver vamos a hacerlo con mucho cuidado por ejemplo qué pasa si x ya son 6 son 0 ambos entonces estos dos se hacen 0 y z es cero entonces empezamos de este punto de aquí y fíjense que si x es cero entonces sólo nos movemos a lo largo del eje y entonces si x es 0 nos queda que 7 es igual a ye cuadrada entonces esencialmente lo que vemos en este plano digamos el formado por el eje z y el eje y en ese plano lo que vamos a ver es una parábola es una parábola que aquí sí sí aquí vale 2 entonces aquí está el 1 el 2 el 3 y el 4 vamos a ver una parábola más o menos esta parábola eso es lo que estamos viendo digamos proyectado en ese plano eso es cuando x vale 0 ahora qué pasa si es el que vale 0 entonces z es igual a x eso nos dice que sobre este plano x z digamos este muro que se genera con estos dos ejes lo que vemos es una línea nada más que bueno no es no es tal cual la línea identidad porque la escala en zeta la hice un poco más apretada pues lo que vamos a ver aquí es más o menos esta línea esta línea recta ok digamos esta línea recta se queda en el muro de la izquierda formado por el eje z y equis y ahora a partir del 1 que es lo que vemos que hay que agregar la parábola verdad es decir 'sí' si x es igual a 1 tenemos la parábola uno más de cuadrada entonces esto se mueve de forma parabólica nada más que por aquí tiene que subir más verdad y aquí hacemos esta línea entonces esta es la superficie de la que estamos hablando déjenme la remarcó más estos son los bordes esta es la superficie de la que estamos hablando este punto viene de este es decir el punto 1,0 va a dar a este este viene de acá bajito y bueno más o menos ahí es claro que la superficie de la que estamos hablando es la gráfica de esta función es esencialmente está ok ahora qué significa realmente lo que estamos haciendo integrar la función ye sobre esta superficie bueno podemos interpretarlo como que ya es una función de densidad ok digamos que ya es la de si la densidad de algún cuerpo de algún fluido es la densidad de masa y lo estamos restringiendo a nuestra superficie entonces jeff por de ese y por de ese es esencialmente la masa que hay en un pequeño pedacito aquí digamos ok de tamaño infinite decimos la la masa que hay en ese pedacito entonces si nos movemos a lo largo de la superficie bueno a lo largo de ya digamos si nos vamos moviendo hacia allá se va volviendo cada mes cada vez más denso entonces a lo mejor aquí la superficie se ve muy densa y poco a poco va perdiendo densidad correcto muy bien entonces ahora a realmente parametrizar esto ya dijimos que ya habíamos visto que podemos utilizar a xy como nuestros mismos parámetros entonces voy a hacerlo para que coincida con la anotación que hemos utilizado que x puede ser nuestro primer parámetro que puede ser el otro parámetro b iceta esencialmente está dado por un + b cuadrada verdad aquí está dado entonces nuestro vector de posición lo podemos definir como r que depende de dos parámetros es o en la primera coordenada en la dirección del vector y más b en la dirección del vector j más y más de cuadrada en la dirección del vector acá está es nuestro este es nuestro vector de posición y sólo hay que decir que está entre 0 y 1 y que b está entre 0 y 2 ahí lo voy a dejar en el próximo vídeo vamos a plantear muy bien la integral ya que tenemos esta utilización