Integrales triples 2

en el vídeo anterior nos quedamos realizando el volumen de este cubo y usamos una integral triple para calcular este volumen y yo sé que probablemente estaban pensando bueno para que hacer todo esto si podemos simplemente multiplicar lo alto por lo ancho por lo profundo y tienen razón nuestra función era un valor constante e incluso cuando hicimos la integración y evaluamos con respecto a z terminamos con una integral doble de la misma manera que lo hubiéramos hecho en los vídeos pasados pero al final del vídeo agregamos algo diferente qué tal si nuestra meta no hubiera sido calcular el volumen sino encontrar la masa de este volumen y aún más esta masa no iba a estar distribuida de manera homogénea en esta en este volumen de manera que su densidad no es constante así que ahora la masa se vuelve algo así como interesante de calcular así que nosotros definimos una función de ansiedad esta rom o esto que parece una p que nos da la densidad en un punto específico al final del vídeo anterior nos quedamos en la pregunta de qué es masa la masa es la densidad por el volumen o pueden decir que la densidad es lo mismo que la masa dividida entre volumen así que la masa alrededor de un punto muy muy muy pequeño que llamamos de masa o la diferencial de la masa va a ser igual a la densidad en ese punto la densidad aproximada en ese punto x la diferencial del volumen en ese punto multiplicado por el volumen de este cubo pequeñito y como lo vimos en el vídeo anterior estamos usando coordenadas rectangulares esta diferencia en el volumen se puede definir como la distancia en x por la distancia por la distancia está así que qué tal si nosotros quisiéramos conocer cuál es la densidad definida en x jay-z y queremos calcular la masa de este volumen digamos que nuestras coordenadas x están en metros y esta necesidad está en kilogramos por metro cúbico así que nuestra respuesta va a estar en función de kilogramos que es la unidad común para masa vamos a calcular la masa en este volumen de densidad variable para esto tenemos esta misma integral de aquí le escribimos aquí abajo así que la diferencial de la masa vamos a escribirlo y déjenme asegurarme de que no nos vamos a quedar sin espacio x zeta multiplicado y ahora te voy a integrar con respecto de z primero pero ustedes podrían comenzar en cualquier otro orden para hacer la integral y quizás lo hagamos así en el siguiente vídeo hacemos de z primero luego de y y finalmente de equis y bueno de nuevo esto es solamente la masa era una pequeña diferencial de volumen y se integramos con respecto a z primero y recordemos que se trabaja de dónde a dónde los límites de seta va de 0 a 20 a 2 los límites en que recordamos que van de 0 a 4 y los límites con respecto a x van de 0 atrás y bueno como vamos a evaluar esto cuál es la andi derivada de esta parte con respecto a z y esta parte que estoy subrayando aquí con respecto a z así que nos queda x y z al cuadrado entre 2 es lo evaluamos de 0 a 2 esto no esté quedando sin espacio a tener 2 al cuadrado qué es 4 dividido entre 2 nos va a quedar 2x - ser así que la evaluación de esto es este elemento nada más nos quedan además otras dos integrales las integrales con respecto a jane y con respecto al x recordamos que lleva de 0 a 4 y x va de 0 atrás y definitivamente me estoy quedando sin espacio aquí ahora es el anti derivada de esto con respecto a iu y esto es la anti derivada con respecto a lleva a ser igual donde lo escribo para que el espacio una vez por acá voy a tener que borrar esta parte porque no puedo recorrer me más ok todo esto vamos a continuar entonces la anti derivada con respecto ayer de esto lo voy a escribir aquí y me va a quedar esto es constante está encuadrada así que nos queda x por cuadrada evaluado de 0 a 4 y tenemos la integral exterior de 0 a 3 con respecto a x evaluamos esto 10 44 al cuadrado es 16 16 x aquí esto es 0 todo lo demás es 0 y eso lo integramos de 0 atrás y esto va a ser igual a 8 x x al cuadrado evaluado de 0 3 al cuadrado es 9 por 8 72 el otro 0 esto se cancela así que nada más nos queda con 72 recuerden que el volumen que encontramos la vez pasada era 24 metros cúbicos pero su masa es de 72 kilogramos y esto lo encontramos al integrar esta función de ansiedad con tres variables o lo pueden interpretar como en tres dimensiones en donde se encuentra un valor de densidad en cualquier punto integramos este campo escalar en este volumen y esto señoras y señores es una nueva habilidad que acabamos de aprender en el siguiente vídeo les mostraré cómo desarrollar integrales triples un poco más complicadas pero realmente la dificultad de las integrales triples y creo que ustedes lo han visto es que a menos de que tengan una figura muy sencilla cómo está la evaluación si quieren resolver analíticamente esta evaluación esta integral triple que tenga límites más complicados como por ejemplo que la función densidad sea más difícil las integrales se van a poner mucho más densas y mucho más rápido de manera que consume mucho tiempo está resolviendo esto por eso verán que cuando tienen exámenes en donde empiezan a ser integrales triples dan por hecho que ustedes ya han hecho integrales de este tipo y anti derivadas y a veces cuando quieren darles algo más complicado les cambian el orden les dicen que en lugar de hacer integral con respecto a z x lo re escriben o reescribe en esta integral para cambiar el orden y esto lo veremos pronto así que nos vemos en el siguiente vídeo