La fórmula de la curvatura (parte 2)

en el vídeo anterior vimos la fórmula para curvatura y bueno recordando supongamos tener una curva en un espacio de dos dimensiones solo para hacerlo un poco más sencillo esta curva esta paramétrica da por una función s de un número que corresponde a un punto en la curva y después pensamos en vectores tangentes unitarios como se ven estos vectores tangentes unitarios en cada punto de la curva así y también vimos la curvatura misma que se denota por la letra griega capa que simboliza la razón de cambio de estos vectores unitarios tangentes y no con respecto al parámetro t sino con respecto a la longitud de arco de ese y me refiero a longitud de arco cuando yo tomo aquí un pedazo de la curva longitud de arco se refiere al tamaño de este pedazo de la curva denotado por de ese y bueno tal vez te pregunte si al tomar un pedazo de la curva el vector tangente unitario en ese pedazo cambia mucho de dirección o cambia poco de dirección para ver eso mejor puedes en otro espacio trazar cada uno de estos vectores unitarios y los coloca hasta el que todos inicien en un mismo punto entonces bueno este vector se ve algo así está apuntando este hacia abajo este se mirará algo así este apunta un poco más hacia abajo y se mira así y bueno suponiendo que camina sobre la curva vas tomando pequeños pasos de tamaño de ese sobre la curva cuál será la razón de cambio en el vector tangente ese cambio será un vector y como la curvatura es un valor lo que nos importa es el tamaño de ese vector es decir el valor del tamaño del vector tangente mientras vas tomando pequeños pasos en de ese ahora debemos pensar en dos cosas primero la función para el sector tangente unitario y la noción de longitud de arco voy a usar la s aquí y aquí en parametrización de la curva porque están relacionadas entonces bueno pondré un ejemplo para que veamos qué quiere decir esto entonces digamos que nuestra parametrización con respecto a t es el vector coseno de t en la componente x y seno de t en la componente i y también multipliquemos ambas componentes por una constante r y esto significa que en el plano coordenada x llevo ya dibujar aquí un plano coordenada tenemos el plano coordenada estamos aquí trazando un círculo con radio r ahora de manera más abstracta pongo aquí otro ejemplo si tuviéramos ese dt igual a cualquier función en general para la componente xy para la componente y esta es una versión más general que veremos en paralelo al ejemplo que estoy haciendo con coseno y seno de t entonces bueno primero averiguamos cuál es este vector unitario tangente es decir cuál es la función que en todo punto nos da un vector unitario tangente a la curva para hacer eso debes darte cuenta que ya tenemos más o menos una noción de lo que debería ser el vector tangente la derivada de nuestra función vector evaluada como función de t la dirección en la que apunta está en la dirección tangente entonces si yo tomo su derivada si vemos aquí s prima de t que es igual a tomar la derivada de ambas de ambas componentes la derivada de kosheh no es menos seno de t multiplicada por r y la derivada de sea no es coseno de t multiplicada por r entonces bueno ahí está la derivada de manera más abstracta en este otro ejemplo tomamos la derivada de cada una de las funciones en las componentes entonces esto lo podemos interpretar como el vector tangente pero tal vez no sea un vector unitario y queremos que sea un vector unitario porque esto solamente nos está dando la dirección en la que apunta y para que sea unitario lo que vamos a hacer es normalizar lo entonces lo normalizamos para obtener una función del rector unitario tangente al cual llamaremos t mayúscula de t minúscula que puede parecer un poco extraño pero bueno t mayúscula está representada del vector tangente d minúscula representa el parámetro y esto sería igual a la derivada de vector valuada pero vamos a normalizar la entonces dividimos entre su magnitud como función de t así que vamos a sacar la norma de esto entonces la norma del vector - seno desde por r jose no de té por r esto es igual la norma de esto es igual a la raíz cuadrada de seno cuadrado seno cuadrado de t por r al cuadrado más coseno al cuadrado dt por el real cuadrado y pues no podemos factorizar a la r entonces dentro del radical tenemos seno cuadrado más coseno cuadrado y no estoy escribiendo aquí las tres porque bueno no importa por el momento ya que ya que todo esto que está dentro del radical es igual a 1 así que las tres no importan aquí y por lo tanto todo esto será igual a r lo cual significa que nuestro vector unitario tangente será igual a la función original pero dividida entre r que resulta ser una constante en este caso aunque no por lo regular no es una constante entonces dado que nuestra función original es menos seno de t por r coseno de t por r como lo estamos dividiendo entre r la función que obtenemos es menos 0 dt josé no dt y bueno en el próximo vídeo seguimos con esto