Cálculo de derivadas parciales de funciones vectoriales

hola a todos lo que quiero hacer aquí en este vídeo y de hecho también en los siguientes vídeos es hablar de cómo tomar una derivada parcial de funciones con valores vectoriales y el tipo de funciones que tengo en mente son funciones que tienen una entrada multi variable digamos en este caso que tengan dos variables de entrada o podríamos pensar lo que tiene una entrada bidimensional verdad y también tiene una salida multidimensional así que en este caso lo que voy a lo que voy a escribir aquí será la función que en la primera coordenada tenga t cuadrada menos s cuadrada también en la segunda coordenada tenga la función st y en la última tenga t s cuadrada menos s t cuadrada muy bien entonces como podemos ver tenemos una entrada de dos dimensiones y una salida de tres dimensiones y la forma de calcular una derivada parcial de este tipo de funciones es bastante directa y de hecho si tú te imaginas cómo hacerlo seguramente le basta a atinar entonces la derivada parcial de nuestra función vectorial b con respecto digamos a la variable t pues simplemente será derivar componente a componente con respecto a t verdad entonces por ejemplo en este caso en la primera coordenada al derivar t cuadrada nos da 2 t y ese cuadrada es una constante cuando estamos derivando al respecto de t verdad entonces esto se hace hacer muy bien entonces aquí sólo queda esto ahora si derivamos esto de aquí verdad ese es una constante y sólo nos queda derivar t que es 1 verdad entonces la constante sale y simplemente nos queda es ahora vamos a derivar con respecto a estas dos verdad entonces la derivada de esta expresión con respecto a t pues es una verdad por la constante que es s cuadrada s veces la derivada de t cuadrada que es 2 t entonces vamos a ponerlo simplemente así 2 por ese porte entonces todo esto fue la derivada parcial con respecto a t y como puedes darte cuenta esto es bastante directo y la forma en que se calcula la derivada parcial respecto a s pues será similar verdad pero donde se empieza a poner divertido y bastante genial es cuando interpretamos estas derivadas y esto en realidad depende de cómo visualices la función así que lo que haré en los siguientes vídeos es ver cómo se visualiza esta función que es en realidad como una superficie parametrizado en un espacio tridimensional por eso es que puse estos ejes aquí y espero que así se pueda admirar lo que esta derivada significa