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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 1

Lección 2: Vectores y matrices

Visualización de matrices

Aprende sobre una interpretación útil de las matrices que nos ayuda a entender la multiplicación de matrices y los determinantes.

En el último artículo cubrimos los fundamentos de las matrices, pero las matrices son mucho más que tablas de números. Por eso, en este artículo discutiremos una manera de pensar en matrices de manera visual. Esta perspectiva hace que mucho de lo que inicialmente parece difícil de entender acerca de las matrices se vuelva intuitivo. En cálculo multivariable, solo necesitaremos esta perspectiva para las matrices cuadradas, así que nos limitaremos a esas aquí.

Matrices como movimiento

¿Cuál es la acción de una matriz ¿Cómo se ve una matriz? Estas preguntas pueden parecer absurdas, pero las contestaremos visualizando cómo matrices de

2 \times 2

mueven el plano en 2D.

Aquí está un dibujo del plano, junto con los vectores unitarios

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, que representan

(1, 0)

(0, 1)

Consideremos la matriz

A

A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}]

Así es como la matriz actúa en la cuadrícula:

Las columnas de la matriz nos dicen a dónde mueve los vectores unitarios $\hat{ı}$ ‍ y $\hat{ȷ}$ ‍, que, otra vez, representan $(1, 0)$ ‍ y $(0, 1)$ ‍.
El resto de la cuadrícula sigue en concordancia, manteniendo siempre las líneas de la cuadrícula paralelas e igualmente espaciadas. El origen se queda fijo en su lugar.

Eso significa que

A

mueve

\hat{ı} \to (1, 1)

\hat{ȷ} \to (0, 1)

. Esto se ve así:

El vector unitario

\hat{ȷ}

no se movió porque comenzó en

(0, 1)

. El vector unitario

\hat{ı}

se movió hacia arriba una unidad, y esto arrastró la cuadrícula con él. Observa que hay una copia más clara de las líneas originales en el fondo para ayudarnos a estar orientados.

Vamos a ver el mismo proceso para otra matriz.

B = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 2 & 1 \end{array}]

Sabemos que

B

mueve

\hat{ı} \to (0, - 2)

\hat{ȷ} \to (- 1, 1)

. Esto se ve así:

Aquí hay una pregunta para practicar.

Problema 1

Supongamos que tenemos una matriz

C = [\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]

¿Cómo se ve la cuadrícula después de aplicar $C$ ‍?

En resumen, la acción de una matriz es mover toda la cuadrícula. Podemos entenderlo si pensamos en cómo mueve los vectores unitarios. Podemos visualizar cómo se ve dibujando una cuadrícula modificada en 2D.

Estas ideas también se extienden a tres dimensiones. El tercer renglón de la matriz contiene coordenadas

z

para todos los vectores unitarios, y la tercera columna de la matriz nos dice a dónde mueve

\hat{k}

Si quieres, juega con las matrices como movimiento con esta demostración interactiva. Arrastra los vectores para hacer que la cuadrícula se mueva, y ve la matriz que corresponde al movimiento en la esquina superior izquierda.

Para aprender más sobre las matrices como transformaciones, revisa este artículo. Para más práctica, dirígete aquí.

Cómo las matrices mueven los vectores

Ya sabemos cómo una matriz determinada mueve los vectores unitarios

\hat{ı}

\hat{ȷ}

(solo mira las columnas), pero ¿cómo podemos encontrar a dónde mueve una matriz cualquier vector arbitrario? Consideremos un ejemplo específico usando la primera matriz de la sección anterior.

A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}]

¿Cómo mueve

A

al vector no unitario

(1, 2)

? Antes de nada, tengamos una idea visual. Primero, el vector sin movimiento de matriz:

Ahora, el vector después de que la matriz mueva la cuadrícula:

El vector sigue el mismo recorrido mientras la matriz mueve la cuadrícula, y finalmente termina en

(1, 3)

. Esta es la esencia de cómo las matrices mueven los vectores, que formalmente se llama multiplicación de vectores y matrices.

Ahora veamos cómo podríamos calcular esto. Representamos

(1, 2)

como una combinación de los vectores unitarios al decir que

(1, 2) = 1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ}

Esta combinación permanece igual después de aplicar

A

, pero en lugar de usar

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, usamos el resultado de aplicar

A

\hat{ı}

\hat{ȷ}

Así es como se ve todo el proceso en símbolos.

\begin{aligned} A [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}] & = A (1 [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]) \\ = A (1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ}) \\ = 1 A \hat{ı} + 2 A \hat{ȷ} \\ = 1 [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}] \end{aligned}

El paso crítico es cuando descomponemos

A (1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ})

1 A \hat{ı} + 2 A \hat{ȷ}

. Eso es cuando podemos representar dónde termina

(1, 2)

en términos de dónde termina

\hat{ı}

\hat{ȷ}

Intentemos con un par de preguntas de práctica.

Problema 2

Sea

B = [\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]

¿Dónde mueve $B$ ‍ al vector $[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ‍ en términos de a dónde mueve $\hat{ı}$ ‍ y $\hat{ȷ}$ ‍?

(Elección A)
Tres veces donde $B$ ‍ mueve a $\hat{ı}$ ‍, más donde $B$ ‍ mueve a $\hat{ȷ}$ ‍.
(Elección B)
Dos veces donde $B$ ‍ mueve a $\hat{ı}$ ‍, más tres veces donde $B$ ‍ mueve a $\hat{ȷ}$ ‍.
(Elección C)
Tres veces donde $B$ ‍ mueve a $\hat{ı}$ ‍, menos dos veces donde $B$ ‍ mueve a $\hat{ȷ}$ ‍.

Problema 3

Sea

B = [\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]

¿Dónde mueve $B$ ‍ al vector $[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ‍?

B [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] = (

,

)

Al igual que en la sección anterior, la idea detrás de las matrices moviendo vectores se extiende a tres dimensiones. Acabamos de descomponer nuestro vector en una suma de

\hat{ı}

\hat{ȷ}

\hat{k}

, luego usamos dónde la matriz lleva todos estos vectores unitarios para encontrar a dónde lleva nuestro vector.

Aquí hay otra demostración interactiva para jugar con matrices moviendo vectores.

Para aprender más sobre la multiplicación matriz-vector, revisa este video. Para profundizar más, prueba con estos videos de álgebra lineal.

Intuición en la multiplicación de matrices (opcional)

Con la perspectiva de las matrices como movimiento, tenemos las herramientas para entender lo que significa multiplicar dos matrices. La idea central es la composición.

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] \\ B & = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \end{aligned}

El producto

A B

simplemente significa aplicar

B

y luego aplicar

A

. Cuando aplicamos

A

en segundo lugar, tratamos a

\hat{ı}

\hat{ȷ}

transformados como vectores regulares movidos por

A

de la manera que aprendimos en la sección anterior.

Para calcular el resultado final, seguimos

\hat{ı}

\hat{ȷ}

a lo largo de los dos movimientos. Primero,

B

lleva

\hat{ı} \to (0, 1)

\hat{ȷ} \to (- 1, 0)

. En segundo lugar, encontramos a dónde lleva

A

a estos vectores:

\begin{aligned} [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] & = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] \\ [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}] & = [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Poniendo esto en una matriz, tenemos el producto. Ten en cuenta que nuestros cálculos están reflejados en la imagen anterior.

[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}]

Para concluir, podemos pensar en la multiplicación de matrices como componer los movimientos que cada matriz representa. Cuando seguimos vectores unitarios a lo largo de estos movimientos, podemos calcular el producto.

Como problema de desafío, intenta derivar la fórmula general para la multiplicación de matrices de

2 \times 2

. Pista: sigue

\hat{ı}

\hat{ȷ}

mientras

B

los mueve, luego sigue a dónde

A

mueve los vectores ya transformados.

Supón que queremos multiplicar estas dos matrices arbitrarias.

[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}] [\begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}] = [\begin{array}{cc} ? & ? \\ ? & ? \end{array}]

Primero seguimos

\hat{ı}

. La matriz de la derecha lo mueve a

(e, g)

. Cuando la matriz de la izquierda mueve

(e, g)

, podemos pensarlo como mover la combinación

e [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + g [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

. La matriz izquierda mueve

(1, 0)

(a, c)

, y mueve

(0, 1)

(b, d)

. Por lo tanto, la ubicación final de

\hat{ı}

es la siguiente:

e [\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}] + g [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} e a + g b \\ e c + g d \end{matrix}]

Después, seguimos a

\hat{ȷ}

. La matriz de la derecha lo mueve a

(f, h)

. Cuando la matriz de la izquierda mueve

(f, h)

, podemos pensarlo como mover la combinación

f [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + h [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

. La matriz izquierda mueve

(1, 0)

(a, c)

, y mueve

(0, 1)

(b, d)

. Por lo tanto, la ubicación final de

\hat{ȷ}

es la siguiente:

f [\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}] + h [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} f a + h b \\ f c + h d \end{matrix}]

Al poner juntas las posiciones finales de

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, encontramos la fórmula para multiplicar dos matrices de

2 \times 2

[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}] [\begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}] = [\begin{array}{cc} e a + g b & f a + h b \\ e c + g d & f c + h d \end{array}]

Observa cómo las entradas de cada vector columna en la matriz producto parecen ser productos punto. Por eso el producto punto aparece en la fórmula de multiplicación de matrices que discutimos en el artículo anterior.

Como un problema de desafío extra, trata de encontrar la fórmula para multiplicar matrices de

3 \times 3

. Pista: sigue

\hat{ı}

\hat{ȷ}

\hat{k}

Hagamos un tercio del trabajo siguiendo solo al vector unitario

\hat{ı}

. Esto nos dará la primera columna de nuestra matriz producto, y esperamos que nos describa cómo podríamos encontrar las otras dos columnas. Ten en cuenta que

\hat{ı}, \hat{ȷ}, \hat{k}

con sombreros son vectores unitarios, mientras que las letras

i, j, k

son entradas numéricas de la matriz.

[\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}] [\begin{array}{ccc} j & k & l \\ m & n & o \\ p & q & r \end{array}]

La matriz a la derecha mueve

\hat{ı}

(j, m, p)

. Podemos escribir esto en términos de vectores unitarios como

j \hat{ı} + m \hat{ȷ} + p \hat{k}

. Sabemos a donde lleva la matriz izquierda a cada uno de estos vectores unitarios leyendo sus columnas. Por lo tanto, la matriz izquierda mueve

\hat{ı}

transformado de la siguiente manera:

\begin{aligned} [\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}] [\begin{array}{c} j \\ m \\ p \end{array}] & = j [\begin{array}{c} a \\ d \\ g \end{array}] + m [\begin{array}{c} b \\ e \\ h \end{array}] + p [\begin{array}{c} c \\ f \\ i \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} j a + m b + p c \\ j d + m e + p f \\ j g + m h + p i \end{array}] \end{aligned}

Esta será la primera columna en la matriz producto. ¡La fórmula completa es tres veces más larga!

Observa cómo cada una de las entradas del vector columna se ve como un producto punto. Por eso el producto punto aparece en la fórmula de multiplicación de matrices que discutimos en el artículo anterior.

Para aprender más sobre la multiplicación de matrices, revisa este video. Para practicar, intenta este ejercicio.

¿Qué sigue?

Ahora que tenemos una idea clara de cómo las matrices mueven el espacio, estamos en una posición privilegiada para entender el concepto final que cubriremos en esta serie de repaso: el determinante.

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dafne.silva
Publicado hace hace 18 días. Enlace directo a la publicación “Hola ¿Cómo resuelvo un p...” de dafne.silva
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¿Cómo resuelvo un problema de producto cruz?
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