Factorizar polinomios usando números complejos

Nos dicen que Amat intentó escribir x  cuarta más 10 x cuadrada más 9 como un   producto de factores lineales. Este es su trabajo: Nos dan todos los pasos que  hizo y después nos preguntan:  ¿En qué paso cometió Amat su primer error? Pausa el video e intenta encontrar la respuesta. Bien, trabajemos juntos para resolver esto.   Amat empezó con el polinomio x  cuarta más 10 x cuadrada más 9 Y parece que lo intentó factorizar como  x cuadrada más 9 por x cuadrada más 1. Lo cuál, de hecho, tiene sentido, ya que, si  decimos que, no sé, u es igual a x cuadrada,   podemos reescribir esta expresión  inicial como u cuadrada más 10 u más 9 La razón por la que hacemos esto es  para poder escribir esta expresión   de orden superior en términos de  una expresión de segundo grado. Y después, ya hemos estudiado en varias ocasiones  cómo factorizar este tipo de expresiones. Podemos decir, ¿cuál es el par de  números que al sumarlos obtenemos   10 y al multiplicarlos obtenemos  9? Bueno, los números son 9 y 1. Así que podemos escribir esto  como u más 9 por u más 1. Y, por supuesto, si u es igual a x cuadrada,   esto es lo mismo que x cuadrada más 9  por x cuadrada más 1 que es exactamente   lo mismo que Amat escribió por aquí. Así  que en definitiva el paso 1 es correcto. Bien, ahora pensemos en lo  que hizo Amat en el paso 2. Observa, no le hizo nada a  x cuadrada más 9 pero parece   que intentó factorizar aún más x cuadrada más 1. Y esto parece correcto. Solo tenemos  que recordar que, así como tenemos una   diferencia de cuadrados cuando trabajamos  con números no complejos —es decir,   que podemos reescribir esto aquí como  x más a por x menos a—; del mismo modo,   podemos tener una suma de cuadrados  si pensamos en números complejos. Esto será x más ai por x menos ai. En este caso, la x es… x, mientras  que la a es 1. Por lo tanto,   esto lo podemos factorizar como  x más uno i, por x menos uno i. Así que el paso dos también es correcto. Ahora trabajemos con el paso tres. En el paso 3, no hay un cambio en esta  parte rosa de la expresión y parece que   Amat intentó factorizar x cuadrada  más 9 usando el mismo principio. Ahora bien, x cuadrada más 9, es lo  mismo que x cuadrada más 3 al cuadrado,   por lo tanto, si usamos esta misma idea, su  factorización será x más 3i por x menos 3i. Pero, lo que vemos aquí, es que Amat  utilizó la raíz cuadrada de tres,   en lugar de utilizar solo tres. Amat realizó la factorización como si  en lugar de tener un nueve por aquí,   en realidad tuviera un tres, por lo tanto, fue  en este momento donde cometió un pequeño error. Podemos concluir que es este el paso en dónde  Amat cometió su primer error y… hemos acabado.