Contenido principal

Introducción a las matrices identidad

Aprende qué es una matriz identidad y su papel en la multiplicación de matrices.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una matriz es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas.

Las dimensiones de una matriz indican el número de renglones y columnas de la matriz en ese orden. Como la matriz

A

tiene

2

renglones y

3

columnas, se le llama una matriz de

2 \times 3

Si esto es nuevo para ti, te recomendamos que revises nuestra introducción a las matrices.

En la multiplicación de matrices, cada entrada en la matriz producto es el producto punto de un renglón en la primera matriz por una columna en la segunda matriz.

Si esto es nuevo para ti, te recomendamos que revises nuestro artículo sobre multiplicación de matrices.

Definición de la matriz identidad

La matriz identidad de

n \times n

, denotada como

I_{n}

, es una matriz con

n

renglones y

n

columnas. Las entradas en la diagonal desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha son todas

1

y el resto de las entradas son

0

Por ejemplo:

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] I_{4} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

La matriz identidad tiene un papel similar en las operaciones con matrices al que tiene el número

1

en las operaciones con números reales. Veamos.

Investigación: multiplicar por la matriz identidad

Intenta algunos problemas de multiplicación que involucren a la matriz indentidad adecuada.

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

A = [\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array}]

I_{2} \cdot A =

I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

A = [\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array}]

A \cdot I_{3} =

Etiquetemos los renglones de la matriz

A

y las columnas de la matriz

I_{3}

para que sea más fácil expresar

A \cdot I_{3}

Podemos encontrar

A \cdot I_{3}

como sigue:

$\begin{aligned} A \cdot I_{3} & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{3}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 & 4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & 4 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

La conclusión

El producto de cualquier matriz cuadrada por la matriz identidad adecuada siempre es igual a la matriz original, ¡sin importar el orden en el que se haga la multiplicación! En otras palabras,

A \cdot I = I \cdot A = A

Conexiones con los números reales

Identidades multiplicativas

La matriz identidad

I

tiene un papel similar al que el número

1

tiene en el sistema de los números reales.

El número $1$ ‍	La matriz identidad $I$ ‍
El producto de $1$ ‍ por cualquier número $a$ ‍ es $a$ ‍. $(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a)$ ‍	El producto de una matriz cuadrada $A$ ‍ por la matriz identidad adecuada $I$ ‍ es $A$ ‍. $(A \cdot I = I \cdot A = A)$ ‍

Inversos multiplicativos

Dos números reales cuyo producto es la identidad multiplicativa se llaman inversos multiplicativos. Por ejemplo, los números

\frac{1}{3}

3

son inversos multiplicativos porque

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

3 \cdot \frac{1}{3} = 1

De hecho, todos los números reales distintos de cero tienen inversos multiplicativos. ¿Pero esta conexión también es cierta en las operaciones de matrices?

Considera las matrices

A

B

$A = [\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}]$ ‍ ‍ $B = [\begin{array}{rr} - 4 & 3 \\ 3 & - 2 \end{array}]$ ‍

Podemos multiplicar para que ver que

A B = I_{2}

B A = I_{2}

Etiquetemos los renglones de la matriz

A

y las columnas de la matriz

B

para que sea más fácil expresar

A B

Podemos encontrar

A B

como sigue:

$\begin{aligned} A B & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 2 \cdot (- 4) + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) \\ 3 \cdot (- 4) + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Para encontrar

B A

, asegúrate de cambiar el orden de las matrices. Por esto, debemos volver a etiquetar los renglones y las columnas de las matrices.

Podemos encontrar

B A

como sigue:

$\begin{aligned} B A & = [\begin{array}{rr} \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{2}} \\ \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} (- 4) \cdot 2 + 3 \cdot 3 & - 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 + (- 2) \cdot 3 & 3 \cdot 3 + (- 2) \cdot 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Esto significa que

A

B

son inversas multiplicativas.

Sin embargo, como veremos, no todas las matrices tienen inversas multiplicativas. ¡En esto las propiedades de los números reales difieren de las propiedades de las matrices!

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

davidrojasg13
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Podrían cambiar (g2, 1) d...” de davidrojasg13
Podrían cambiar (g2, 1) de A (3) por un número diferente de (g1, 2) de A (3). De esta manera sería más claro que es lo que pasa con esos dos ¿Se quedan estáticos se intercambian de puestos? no lo sé. Gracias.
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(1 voto)
Respuesta

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 7

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Definición de la matriz identidad

Investigación: multiplicar por la matriz identidad

La conclusión

Conexiones con los números reales

Identidades multiplicativas

Inversos multiplicativos

¿Quieres unirte a la conversación?