Multiplicar expresiones racionales

Aquí tenemos una expresión en la que estamos  multiplicando expresiones racionales,   y lo que queremos hacer es multiplicar y después  reducir hasta su mínima expresión. Si te sientes   inspirado, te invito a que pauses este video  y lo intentes por tu cuenta. Bien, trabajemos   juntos. Multiplicar expresiones racionales como  esta se parece mucho a multiplicar fracciones,   por ejemplo, si queremos multiplicar 6/25 • 15/9  podemos resolverlo de muchas formas, podemos   simplemente multiplicar 6 por 15 en el numerador  y 25 por 9 en el denominador. Sin embargo,   el procedimiento que muchos de nosotros utilizamos  para que sea más fácil reducirlo a su mínima   expresión es factorizar, es decir, darnos cuenta  de que 6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 15 = 3 • 5 y 25 = 5   • 5, y esto nos permite ver que tenemos un 5 en  el numerador y en el denominador; y 5 / 5 = 1,   3 / 3 también es 1, otra vez 3 / 3 es 1, y por lo  tanto sólo nos quedaremos con este 2 y con este   5. Así que esto será igual a 2/5. Vamos a hacer  algo análogo para estas expresiones racionales,   vamos a factorizarlas todas tanto en el numerador  como en el denominador, y luego veremos si podemos   dividir el numerador y el denominador por lo  mismo. Ahora bien, es importante asegurarnos de   conservar el mismo dominio mientras realizamos  todo esto, porque estas expresiones racionales   pueden tener valores x que hagan que el  denominador sea igual a 0, e incluso si   reducimos a la mínima expresión y nos deshacemos  de ciertas expresiones para que la expresión final   sea igual que la expresión original, tenemos  que restringir el dominio de la misma forma.   Así que empecemos. Esto será igual a... y vamos  a reescribir todo esto. ¿Cómo factorizamos x² - 9?   Bueno, es una diferencia de cuadrados y, por lo  tanto, podemos escribirla como (x + 3) (x - 3),   esto entre... y toda esta expresión ¿cómo podemos  factorizarla? Veamos: 5² es 25 y -5 + -5 = -10,   así que esto puede factorizarse como: (x - 5) (x  - 5). Y si la idea de factorizar no te resulta   familiar, te invito a que revises el tema de  factorización en Khan Academy. Entonces, vamos   a multiplicar esto por... Y veamos ¿qué podemos  factorizar de esta expresión en rojo? Bueno,   podemos factorizar un 4, así que esto será 4 (x  - 5), lo cual es bastante útil ya que tenemos un   x - 5 arriba y otro abajo; y a esto lo dividiremos  entre... y veamos ¿cómo podemos factorizar   la expresión azul? 2 + 3 = 5 y 2 * 3 = 6, así  que será (x + 2) (x + 3). Ahora bien, antes de   empezar a reducir a la mínima expresión, pensemos  en el dominio. El dominio estará restringido por   todos los valores que hagan estos denominadores  igual a 0, es decir, el dominio serán todos los   números reales excepto x = 5, es decir, x no puede  ser igual a 5 porque si x es igual a 5 entonces   este denominador será 0; además x no puede ser  igual a -2, x no puede ser igual a -2 ya que,   si x es igual a -2, este denominador será 0; y por  último, x no puede ser igual a -3, por lo tanto,   el dominio está restringido de esta forma. Tenemos  que tener en cuenta estos valores ya que, sin   importar qué le hagamos a nuestra expresión, éstas  serán nuestras restricciones en nuestro dominio.   Bien, con esto en mente, ya podemos reducir a su  mínima expresión. Así que veamos: tenemos (x + 3)   en el numerador y (x + 3) en el denominador, (x  - 5) en el numerador y (x - 5) en el denominador,   y creo que es todo lo que podemos reducir, por  lo tanto, cuando multiplicamos los numeradores   obtendremos 4 (x - 3) entre, y si multiplicamos  ahora los denominadores obtendremos (x - 5)   (x + 2). Y si queremos, podemos presentar el  resultado de esta manera o podemos multiplicar   estas expresiones, de cualquier forma hemos  terminado de multiplicar estas expresiones   algebraicas. Y no olvidemos que x no puede tomar  ninguno de estos tres valores. Puedes ver que   ahora que simplificamos todavía tenemos (x - 5)  en el denominador, en esta expresión reducida,   por lo que parece redundante decir que x no puede  ser igual a 5, y también se sigue cumpliendo que x   no puede ser igual a -2, ya que todavía tenemos  (x + 2) en el denominador. Observa: esto sigue   siendo bastante claro en esta expresión final,  ¿cierto? Pero cuando vemos esta expresión, ya no   es tan obvio que x ya no pueda ser igual a -3; sin  embargo, para que esta expresión sea completamente   equivalente al original, es necesario que tenga el  mismo dominio, por lo que podríamos ser explícitos   y decir que x no puede ser igual a -3. Y tal vez  podríamos escribir las otras dos restricciones,   pero no es necesario, ya que éstas siguen siendo  muy claras cuando observamos esta expresión final.