Desarrollar binomios

tenemos tres de cuadrada más seis x al cubo y estamos elevando este binomio a la quinta potencia claramente podríamos utilizar el teorema del binomio o el triángulo de pascal para encontrar la expansión de este binomio a las cinco pero lo que quiero que hagamos en este vídeo es que nos fijemos en un solo término de la expansión porque hay tenemos por aquí toda la expansión y en algún punto vamos a llegar a un término que tiene x a la 6 porque a las 6 por un coeficiente por aquí y después otro bonche de términos pero lo que quiero es que encontremos cuál es este coeficiente de aquí y te recomiendo que le pongas pausa al vídeo y trates de encontrarlo tú solito bueno estoy suponiendo que ya lo intentaste y pues la primera vez que lo vemos podemos confundirnos un poquito no o sea porque tenemos equis a la 6 porque a las 6 y como base si estamos elevando un binomio a la quinta potencia que tengamos estos exponentes igual a 6 y luego te fijas adentro del paréntesis y ves que tenemos aquí una ye cuadrada y una equis a la 3 y entonces todo empieza a tener un poco más de sentido ya considerando que tenemos ya al cuadrado y equis a la tercera potencia todo eso elevado a las cinco ya podemos pensar en que tengamos por aquí un término cuyos exponentes sean mayores que cinco pero bueno para encontrar cuál es este coeficiente de este término primero hay que entender un poco qué patrón sigue la expansión de este binomio a las 5 tomando en cuenta esa extensión sin preocuparnos por los coeficientes y ya después vamos a ver cuál es el coeficiente que corresponde a este término y bueno esto de la expansión de un binomio a las 5 ya lo hemos visto un montón de veces nada más tenemos que poner por aquí el primer término es cuadrada y lo elevamos a la potencia a la que estamos llevando al binomio o sea a las 5 pero antes de ver lo de los exponentes déjame copio esto y lo pego unas 6 veces porque el número de términos en una expansión de un binomio a las 5 siempre es el número del exponente en este caso 5 más 1 y luego tenemos que multiplicar por 6 x al cubo en este término está la 0 y déjame lo copio y lo pego en el resto de los términos ahora sí vamos con los exponentes aquí este lo tenemos que elevar la potencia 5 este a la potencia 4 3 2 1 y 0 y los exponentes de este término empiezan en cero van a 1 2 3 4 y finalmente 5 y por supuesto se están sumando y además de sumarse cada uno de estos términos tiene por aquí un coeficiente ok ahora cuál de estos términos corresponde al término que tiene x a la 6 x llega a las 6 a ver si tomamos este término por aquí tenemos ya al cuadrado y luego todo esto a la cuarta potencia y eso pues nos va a dar una a la 8 necesitamos una ya las 6 no una llega a la 8 entonces vamos a ver si este término nos sirve tenemos aquí ya al cuadrado y luego a la tercera potencia eso nos da una idea de las seis y de este lado tenemos x a la 3 y todo eso al cuadrado o sea que tenemos x a las 6 entonces este término de aquí este de aquí es el término que tiene x a la 6 porque a la 6 entonces nos interesa muchísimo saber cuánto vale este coeficiente claro que hay que notar que el coeficiente que pongamos aquí no es precisamente este coeficiente que estamos buscando que falta tomar en cuenta otro detalle muy importante sin embargo este coeficiente de aquí lo podemos encontrar muy fácilmente ok porque tenemos aquí una expansión de un binomio a las cinco y este es el primero segundo tercer término de esa expansión así es que ir pues podemos utilizar el teorema del binomio o el triángulo de pascal para encontrar este coeficiente entonces hay que encontrar este coeficiente y una vez que lo encontremos para sacar cuánto vale esto que estamos buscando lo que tenemos que hacer es encontrar el coeficiente de esta multiplicación ok porque aquí hay un 3 a la 3 y aquí hay un 6 a la 2 y esta cosa que estamos buscando está absorbiendo todos esos números pero bueno vamos a empezar por encontrar este número de aquí aunque hoy podemos usar el triángulo de pascal o podemos usar combinatoria y pues vamos a empezar por combinatoria entonces aquí el coeficiente de este término son las combinaciones del número al cual estamos elevando al binomio que en este caso es 55 son las combinaciones de 5 en el número al cual estamos elevando el segundo término del binomio que en este caso es un cero 0 y ahora vamos con el segundo término aquí este coeficiente son las combinaciones del número al cual estamos elevando el binomio que es un 5 y son las combinaciones de 5 en el número al cual estamos elevando el segundo término del binomio que en este caso es un 1 y ahora vamos al coeficiente que más nos interese y son las combinaciones de 55 en 2 en 2 y bueno como que aquí no se ve muy bien entonces voy a escribirlo por acá son las combinaciones de 55 en 22 eso es igual a 5 factorial entre 2 factorial 2 factorial por 5 menos dos factoriales ok es 55 menos dos estados factorial así es que vamos a desarrollar cuánto vale estas combinaciones de 5 en 25 factorial es igual a 5 por 4 por 3 por 2 y aquí le podríamos poner por 1 pero realmente no cambia nada aunque sabes que vamos a ponerlo de una vez para no confundir nada y luego aquí abajo tenemos 2 factorial que es un 2 por 1 y por aquí tenemos 5 menos 2 factorial y esos cinco menos dos es 33 factorial es 3 por 2 por 1 y podemos ver que hay un bonche de cosas que se pueden cancelar no o sea este 3 se cancela con este 32 se cancela con 2 los unos no afectan el valor de nada y este 2 está dividiendo a este 4 y 4 entre 2 es 2 así es que nos queda 5 por 2 y 5 por 2 es 10 así es que este coeficiente de aquí las combinaciones de 5 en 2 es simplemente un 10 entonces este coeficiente de aquí es un 10 ahora lo que vamos a hacer es encontrar este coeficiente pero usando el triángulo de pascal aquí empezamos con un 1 después tenemos dos nuevos es un 11 este es el binomio solito elevado a la potencia 1 y después tenemos por aquí cuando elevamos el binomio a la segunda potencia y nos quedan los coeficientes 11 + 1 21 llevamos al binomio a la tercera potencia y los coeficientes son 13 31 elevamos el binomio a la cuarta potencia y nos quedan 1 4336 4 y 1 y finalmente el quinto nivel que es el que realmente nos interesa 11 454 6 10 10 5 y 1 entonces si queremos el coeficiente del tercer término a ver aquí tenemos un término segundo término tercer término de la expansión de un binomio a la quinta potencia lo que tenemos que hacer es irnos al triángulo de pascal al quinto nivel bueno donde este es el nivel cero nos vamos a este nivel y buscamos el tercero término y entonces este es este coeficiente de aquí así es que los dos métodos y coinciden entonces ahora sí ya vamos a tratar de encontrar este término y lo que tenemos que hacer es volver a escribir este término de aquí pero de forma desarrollada aunque hay entonces tenemos por allí un 10 y después tenemos 3 porque cuadrada y aquí está el detalle del que les hablaba yo antes tenemos aquí tres a la 33 a la 3 porque cuadrada a la 3 que simplemente llegue a las 6 x 6 al cuadrado 6 al cuadrado por x al cubo al cuadrado y x al cubo al cuadrado es como x a la 3 por 2 que simplemente x las 6 y bueno esto es igual a 10 10 por 3 a la 3 que es 27 27 por 6 al cuadrado que es 36 por 36 y finalmente x x a la 6 x a la 6 x que a las 6 x que a las 6 entonces tenemos aquí x a las 6 x ya la 6 que es justo esto de aquí y tenemos tal cual el coeficiente que acompaña a x a la 6 por llevarlo a 6 así es que tenemos que calcularlo y listo tenemos 10 por 27 por 36 igual 9 mil 720 ok estoy aquí es igual a 9 mil 720 así es que este coeficiente que estábamos buscando es 9 mil 720 y listo