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Curso: Precálculo > Unidad 2
Lección 9: Identidades de suma de ángulos- Identidades trigonométricas de suma de ángulos
- Usar la identidad del coseno de suma de ángulos
- Usar la identidad del coseno de ángulos dobles
- Usar las identidades trigonométricas de suma de ángulos
- Demostración de la identidad del seno de suma de ángulos
- Demostración de la identidad del coseno de suma de ángulos
- Prueba de las identidades de suma y diferencia del ángulo de la tangente
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Prueba de las identidades de suma y diferencia del ángulo de la tangente
Usando el seno y el coseno de la suma o la diferencia de dos ángulos, podemos probar:
tan(x+y)=(tan(x)+tan(y))/(1+tan(x)tan(y)). Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
En este video voy a suponer que ya sabes algunas cosas que hemos visto
y demostrado en otros videos: El seno de x más y es igual al
seno de x por coseno de y más y luego se intercambian los cosenos y
los senos, coseno de x por seno de y, Y luego tenemos que el coseno de
x más y es igual al coseno de x por coseno de y menos el seno de x por seno de y. Hemos demostrado todo esto en otros videos. Además escribí algunas propiedades del coseno
y del seno que hemos estudiado en otros videos. Coseno de –x es igual a coseno de x
y seno de –x es igual a –seno de x. Y además, por supuesto, la
definición de la tangente: la tangente de un ángulo es el
seno sobre coseno de ese ángulo. Ahora que hemos repasado todo esto,
queremos llegar a una fórmula para la tangente de x más y que esté expresada
sólo con tangente de x y tangente de y. De forma análoga a lo que hicimos
aquí para el seno y el coseno. Bueno, de inmediato podemos reconocer que la
tangente de x más y, según la definición de tangente, va a ser lo mismo que el seno
de x más y sobre el coseno de x más y. ¿Y eso a qué va a ser igual? Bueno, sabemos que el seno de x más y
se puede expresar así. Así que vamos a escribirlo. Esto es lo mismo que seno de
x coseno de y, más coseno de x seno de y. Todo esto entre…. y para que podamos
ahorrarnos un poco de espacio, voy a poner esta línea aquí abajo, porque en
un segundo vamos a escribir en esta parte. Así que tenemos toodo esto entre el coseno
de x más y, que es esta expresión en la que solo usamos cosenos de x y cosenos
de y, y senos de x y senos de y. Así que vamos a escribirlo por aquí. Tenemos
coseno de x coseno de y menos seno de x seno de y. Ahora queremos expresar todo
esto usando tangentes de x y de y. Y sabemos que la tangente
es el seno sobre el coseno. Así que, ¿qué tal si dividimos tanto
el numerador como el denominador entre alguna expresión que nos ayude a expresar
el numerador y el denominador con tangentes? Y voy a ir al grano. Así que en el numerador, lo
que puedo hacer es… y ojo, voy a hacer esto primero en el numerador, y
luego haré lo mismo en el denominador también. Voy a dividir el numerador
entre coseno de x coseno de y. Y por supuesto, no puedo simplemente dividir
el numerador entre coseno de x coseno de y, ya que cambiaría el valor de
la esta expresión racional. Tengo que hacer lo mismo
para el denominador también. Sé que esta es una fracción de
aspecto muy complejo por aquí, pero se va a simplificar en un segundo. Así que también voy a dividir el
denominador entre coseno de x coseno de y. Y ahora veamos si podemos
simplificar la expresión. En el numerador, podemos ver que este
coseno de y se cancela con este coseno de y. Y así ese primer término se
convierte en seno de x sobre coseno de x. Y así el numerador va a ser igual al seno
de x sobre el coseno de x que es tangente de x. Y luego para el segundo término de aquí, podemos ver que el coseno de x
se cancela con este coseno de x. Así que nos queda el seno de y sobre el coseno
de y, que es, por supuesto, la tangente de y. Así que más tangente de y Y a todo esto lo dividimos entre… Y ahora podemos observar el denominador. En el primer término, podemos ver
que el coseno de x se cancela con el coseno de x y el coseno de y
se cancela con el coseno de y. Así que, en este primer término de aquí, cuando
se divide entre este coseno de x coseno de y, solo nos queda uno y después tenemos el menos. Y ahora este segundo término es interesante.
Tenemos el seno de x sobre el coseno de x, y el seno de y sobre el coseno de y.
Así que el seno de x sobre el coseno de x de allí es tangente de x, y luego el seno
de y sobre el coseno de y es la tangente de y. Así que esto va a ser tangente
de x por tangente de y. Y así, hemos llegado a una
expresión para la tangente de x más y que depende solo de la
tangente de x y la tangente de y. Ahora la siguiente pregunta es: bueno,
esto es genial para la tangente de x más y, pero ¿qué pasa con la tangente de x menos y? Bueno, aquí sólo tenemos que recordar
un poco lo que hemos visto antes. Déjame escribirlo por aquí.
La tangente de -x es igual al seno de -x sobre el coseno
de -x y ¿a qué va a ser igual? El seno de -x es lo mismo que -seno de x, -seno de x, y luego el
coseno de -x es igual que el coseno de x. Bueno, esto es sólo el negativo de la
tangente de x. Así que esto es –tangente de x. Y la razón por la que es útil es porque puedo
reescribir esto como la tangente de x más -y. Así que en todas partes donde tenemos y
por aquí, podemos reemplazarla con -y. Así que esto va a ser igual a la
tangente de x más la tangente de -y, todo eso sobre 1 menos la tangente
de x por la tangente de -y. Bien, sabemos que la tangente de
-y es lo mismo que –tangente de y. Lo mismo por aquí, y luego menos
por menos convertiría esto en más. Y así, sólo para escribir todo claramente, sabemos
que la tangente de x menos y puede escribirse como tangente de x menos tangente de y todo eso
sobre 1 más tangente de x por tangente de y.