Identidades de tangentes: simetría

en el vídeo pasado vimos cómo los cosenos y los senos de los ángulos se relacionaban cuando básicamente reflejábamos el radio terminal a través del eje x el eje y o ambos ejes lo que quiero hacer en este vídeo es ahora considerar la tangente de estos ángulos y aquí podemos recordar que la tangente de teta es igual al seno de teta sobre el coseno de teta esto quiere decir por la definición del círculo unitario que la tangente es la pendiente del radio terminal recordemos lo que la pendiente la pendiente es elevación sobre avance el cambio en el eje vertical sobre el cambio en el eje horizontal entonces partiendo el origen cuál es el cambio en el eje vertical de este rayo el cambio en el eje vertical es seno de teta y el cambio en el eje horizontal es coseno de teta así es que esto va a ser igual al cambio en y sobre el cambio en x esto es d rayo terminal déjame abreviar lo mejor del rayo terminal es decir la tangente de teta beteta sobre coseno beteta o la puedes ver como la pendiente de este rayo terminal veamos ahora que otros ángulos van a tener exactamente la misma tangente de teta bien este radio de aquí es co lineal con este otro radio de acá de hecho si los unes te das cuenta que forman parte de la misma recta de tal manera que la tangente de este ángulo en rosa la tangente de pimas teta la tangente de teta más me lo puedo poner teta más propinas teta no importa la tangente de teta más pi debe de ser igual basado en este argumento de la pendiente de la recta a la tangente de teta debe ser igual a la tangente de teta déjame ponerlo con el mismo color tangente de teta así es que estas dos deben de ser igual si estamos de acuerdo en que la tangente del ángulo corresponde a la pendiente del lado terminal el ángulo tomado respecto a la parte positiva del eje x de acuerdo a la convención que hemos estado usando pero ahora veamos qué es lo que es la tangente dt está más pi en términos de seno de teta más pi y coseno de teta más pi tenemos que tangente déjame hacer lo mejor en rosa tangente ese no es rosa tenemos que tangente de teta más voy a ponerlo entre paréntesis para evitar ambigüedad es igual a seno de teta más para seno de t está más dividido entre coseno de tettamanti y en el vídeo anterior establecimos que seno de tettamanti es igual a en menos seno de teta así es que esto es igual a menos seno de teta y coseno detectan más pi es igual a menos coseno de teta así es que este es igual a menos coseno de teta menos entre menos es más y se no detectan entre coseno de teta es igual a la tangente de teta si es que esto es igual la tangente de teta la igualdad si se cumple ahora qué pasa con los puntos más bien los rayos terminales que se encuentran aquí que se encuentran que pasa con las tangentes de estos ángulos pensemos en este punto cuál es la tangente de menos theta la tangente menos teta sabemos que es seno de menos de está dividido entre coseno de - teta ahora bien se 9 - teta ya vimos que es menos seno de teta aquí lo tenemos se mueven ustedes la coordenada en irak y que es menos esta coordenada en menos seno de teta así es que esto es menos de 90 y cose 9 menos teta las coordenadas en x aquí son iguales es igual a coseno de teta de tal manera que esto es igual entonces a menos seno de t está dividido entre coseno de teta seno ett / coseno ett están gente de tetas y es que esto es igual a menos tangente de teta y aquí lo podemos ver si tomamos el negativo del ángulo vamos a obtener el negativo de la tangente y esto es porque cambia el signo del numerador cambia el signo del seno mientras que el signo del denominador así es que tan gente de menos teta es igual a menos tangente de teta ahora que sucede con este punto que tenemos aquí aquí en relación al ángulo teta estamos considerando el ángulo y menos de eta tenemos que la tangente de pi - teta la tangente de pi menos teta es igual al seno de pi menos te está dividido entre el coseno de pi menos de eta y se 9 menos de está ya vimos que es igual a seno de teta seno de eta ambas tienen la misma coordenada en g así es que esto es igual a seno de teta y coseno de pi menos teta que es la coordenada en x es menos coste no detecta jose 9 primeros tests menos 12 9 teta así es que esto es igual de 9 teta sobre menos coseno etc esto es igual a menos tangente de teta lo cual hace sentido este rayo tiene que tener la misma y que este rayo que este rayo de aquí es decir el valor de la pendiente de esta recta corresponde a menos menos la tangente de teta y aquí lo puedes ver si tomamos estas dos rectas que son la combinación de los rayos estas dos rectas tienen la misma pendiente con signo opuesto una es la imagen especular de la otra a través del eje x así es que hemos visto que si tomas un ángulo y sumas pía el ángulo la tangente no va a cambiar porque vas a estar básicamente sobre la misma línea al tomar un ángulo de ti radiales o 180 grados va a ser en dirección opuesta pero la pendiente del rayo no va a cambiar así es que la tangente de teta es lo mismo que la tangente de teta más p pero si tomas el opuesto del ángulo entonces vas a tener menos la tangente del ángulo o si llegas a este punto al tomar y menos el ángulo al tomar y menos el ángulo en este caso también vas a obtener menos gente del ángulo espero que hayas encontrado esto interesante realmente es muy útil cuando estás trabajando problemas de trigonometría o estás tratando de mostrar algunas identidades aunque de hecho aquí hemos probado algunas identidades pero lo que es realmente útil es pensar en estas simetrías y reflexiones que se dan en el círculo unitario