Problema trigonométrico de desafío: progresión aritmética

vamos a resolver el siguiente ejercicio dice si los ángulos a b y c mayúscula de un triángulo están en progresión aritmética y si a b y c minúsculas denotan las longitudes de los lados opuestos a los ángulos a b y c respectivamente entonces el valor de la expresión a entre c seno de 12 mayúscula más se entre a seno de 2 a mayúscula es muy bien entonces veamos si podemos resolverlo seguro vamos a poder porque somos muy buenos y para poder hacerlo primero tenemos que dibujar el triángulo entonces digamos aquí tenemos nuestro triángulo más o menos así no realmente no importa verdad podemos hacerlo arbitrario solo es para darnos cuenta de que estamos hablando entonces este tiene ángulos a b y c mayúscula y nos dice que las longitudes de los lados opuestos vamos a denotar por ejemplo al lado opuesto de este ángulo sería este de aquí a minúscula al opuesto debe es de minúscula y al opuesto desees c minúscula hacer esto un poco más grande muy bien entonces lo que nos piden es calcular esta expresión a partir de los siguientes los ángulos abc de este triángulo están en progresión aritmética y eso qué quiere decir esencialmente nos dice que a veces difieren por el mismo número y son números consecutivos digamos por ejemplo el 1 el 2 y el 3 verdad estos son números consecutivos y están en progresión aritmética porque la diferencia entre cada uno de ellos es 1 por ejemplo qué tal si tomamos el 2 4 y 6 otra vez son consecutivos y la diferencia entre entre cada uno es 2 por ejemplo también podríamos poner 10 20 20 y 30 verdad son consecutivos y además bueno no no son son sucesivos digamos van en orden y además la diferencia entre estos son 10 entonces creo que ya tienes muy clara la idea de que quieren decir con progresiones aritméticas y nos dicen esencialmente que los ángulos cumplen eso es decir si tú tienes tu ángulo a ok no sabemos quién sea pero ve va a ser a más un cierto número n muy bien no sabemos quién es en eso lo sabemos que están en progresión aritmética están en progresión aritmética aunque no sabemos cuál es la constante por la que difieren y finalmente se pues es de más la misma n pero ve es amazon entonces esto nos queda a más n mas n y esto es simplemente a más 2 en es muy bien entonces ya con esto podemos también sacarle más jugo al problema porque sabemos que la suma de los ángulos de interiores de un triángulo suman 180 grados entonces si sumamos éste y este nos debe dar 180 entonces tenemos a más a más cn más 2n es igual a 180 bien entonces si agrupamos aquí tenemos 123 us3 as n y otras 12 nes nos dan 3 n muy bien y entonces podemos dividir de ambos lados entre 3 y del lado izquierdo nos queda a más n es igual a 180 entre 3 que son 60 grados muy bien entonces aquí no me dice mucho verdad no nos dice mucho que como es algo como es la n pero hay que recordar quién es a más en donde se encuentra más n y si nos ponemos a observar muy bien a más n se encuentra aquí entonces me está diciendo la información de que am acm que es de 60 grados que entonces este ángulo b es 60 grados muy bien entonces ahora lo que me está diciendo todo todo en esencia es que bueno el b vale 60 a es un número anterior por ejemplo podría ser 59 y se podría ser un número posterior 61 o bien podríamos ver son podría ser 60 anteriormente podría ser 50 y después o bien podría ser 60 anteriormente 40 y después 80 ok el detalle es que sea una progresión aritmética y el de en medio que es be debe ser 60 entonces vamos a ver cómo podremos utilizar esto para resolver el problema y lo que vamos a hacer es lo siguiente vamos a tomar esta expresión esta vamos a incluso a copiarla en 13 seno de 12 se entre a seno de dos a muy bien entonces déjenme dejen a corregir esto porque quiero que éste se vea que es una minúscula y lo que vamos a tratar de hacer es cambiar todo esto en términos de lo que ya sabemos que es b sabemos que de 60 entonces cuando uno de un seno de un doble ángulo pues lo primero que uno trata de hacer pues es ir a buscar todas las identidades trigonométricas que tenemos verdad aquí no tenemos ave entonces tenemos que buscar una forma de poder expresar o poner todo esto en términos de b entonces vamos a utilizar para esto la fórmula del seno del doble ángulo para este entonces seno de 12 es dos veces seno de ese coseno de sé muy bien lo mismo podemos utilizar para este entonces tenemos dos veces el seno de coseno de a muy bien y ahora hay que terminar de poner las constantes por las cuales estamos multiplicando que aquí es a sobre c + sobre y así se están multiplicando entonces qué otra cosa que otra herramienta podemos utilizar y realmente esto lo que nos va a servir es utilizar la ley de senos y voy a y voy a escribirla aquí la ley de senos que nos habla de proporciones de los senos de los ángulos con sus en lados opuestos nos dice que el seno de un ángulo a entre a es igual al seno del ángulo b sobre el lado de que es igual al seno del ángulo ce sobre el lado ce esto es lo que me dice la ley de seno si nos va a servir porque tenemos por ejemplo seno de c en 13 y lo podemos convertir en términos del seno de b muy bien también vamos a utilizar la ley de cosenos ley de cosenos la ley de cosenos que nos dice esencialmente es como el teorema de pitágoras pero corregido verdad con un poquito nos dice que se cuadrada es igual a a cuadrada más b cuadrada y hay que restarle ésta hay que hacerle la corrección 2a de verdad por el coseno del ángulo sé que esto esto nos da el teorema de pitágoras cuando el triángulo es rectángulo muy bien entonces lo que vamos a hacer es lo siguiente vamos a agrupar 2 a 2 con jose no desee muy bien y si tenemos eso lo que nos quedaría es multiplicando a seno de c en 13 y ahí es en donde vamos a utilizar la ley de senos entonces esto será 2a coseno dc ok que multiplica dejen de imponerlo con blanco que multiplica al seno de c sobre minúscula y ahora de este lado hacemos lo mismo agrupamos 12 con el coseno dea y nos queda más 12 coseno de a y luego multiplica a seno de a seno de a sobre a minúscula y esto lo hacemos nuevamente porque quiero usar la ley de senos entonces seno de c en 13 es seno de entre b entonces podemos dejar lo mismo dos a ccoo seno de c que multiplica ahora en vez de ponerse no deseen 13 ponemos que no debe entre ver porque son iguales seno de b / b y luego sumamos 12 coseno de a por seno de a entre a pero eso es lo mismo que se no debe y no debe entre b y eso por la ley de senos entonces esto es bastante agradable es muy agradable porque el seno de b si lo conocemos manos de hecho sabemos que ves 60 grados verdad entonces su seno podremos calcularlo así que por ejemplo aquí de hecho tenemos el mismo factor podemos factorizar lo y entonces también lo que hay que observar es que estos términos se van pareciendo lo que tenemos en la ley de cosenos verdad es dos veces algo falta aquí algo por el coseno de un ángulo entonces vamos a ir haciendo esto esto es 2a dejó un espacio para algo que quiero hacer jose no desee 12 dejó un espacio por el coseno de a y todo esto es multiplicado por el mismo el mismo factor que es seno debe sobre b muy bien ahora tú dirás bueno y por qué dejaste ese espacio entonces lo que yo voy a hacer es tratar de agregar cosas para que se parezca mucho a la ley de ley de cosenos y esencialmente por ejemplo si sumamos de ambos lados 2 adecco seno de s tendremos encuadrada + 2 a de coseno dc es igual a a cuadrada más b cuadrada ahora si restamos e cuadrada de ambos lados nos quedan 2 a de coseno de se iguala a cuadrada más b cuadrada menos se cuadrada muy bien entonces aquí es en donde yo digo que se parece mucho a lo que tenemos acá excepto que nos falta una vez entonces lo que podremos hacer bueno también aquí tenemos coseno de ser verdad funciona muy bien pero acá tenemos coseno de a entonces lo que podemos hacer es simplemente invertir el papel de ahí sé muy bien entonces tendremos si invertimos el papel de ahí de ahí se en donde haya ponemos una c donde haya se ponemos una y aquí sería se cuadrada más be cuadrada menos menos a cuadrada muy bien entonces utilizando esto ya podremos decir bueno fíjate que al primer sumando le falta la b y al segundo sumando también a bueno qué pasa si nosotros multiplicamos todo por b entonces al distribuirlo al distribuirlo es multiplicar cada uno de los sumandos porque esta vez ahora no puedo multiplicar así tan arbitrariamente verdad porque no tendría el mismo resultado entonces si multiplique por b debo dividir entre b y entonces dividir entre veces lo mismo que multiplicar en este denominador y hasta este momento tenemos todo bien todo bien porque ahora podemos utilizar la ley de cosenos en estos dos suman 2 la ley de cosenos por ejemplo para para este primer sumando 2 ab coseno d se me dice que es cuadrada más de cuadrada menos e cuadrada a cuadrada más b cuadrada menos se cuadrado para el segundo para este segundo podemos utilizar esto que es se cuadrada más be cuadrada menos cuadrada y todo esto multiplica hace no debe y ahora entre deporte que es de cuadrada y ya casi terminamos si te das cuenta esto es muy muy agradable porque se simplifica aquí tenemos a cuadrada y restamos al cuadrado tenemos menos e cuadrada y se cuadrada entonces esto simplemente fue lo siguiente simplemente fue 2 b cuadrada y luego multiplicamos por el seno de b / b cuadrada entonces esto se simplifica todavía más porque nos queda dos veces el seno de d y el seno de béjart deberíamos poder calcularlo porque esto es lo mismo que dos veces el seno de 60 grados si no te acuerdas cuál es el seno de 60 grados lo puedes poner en un triángulo verdad ponemos un triángulo rectángulo aquí 60 grados ponemos una hipotenusa de 1 porque está en el círculo unitario y bueno aquí tenemos 30 grados entonces 30 grados nos da que este lado de aquí es un medio este lado de acá nos tiene que dar raíz de 3 entre 2 entre 2 si raíz de 3 entre 2 y esto lo puedes deducir por el teorema de pitágoras verdad entonces no es no es muy complicado desde todos modos en los vídeos de trigonometría que hemos visto bien en las fórmulas que hemos utilizado y esta forma de calcular seno de 60 grados pero bueno lo importante es que el seno de 60 grados es lado opuesto raíz de 3 entre 2 entre la hipotenusa que vale 1 entonces esto simplemente es dos veces por el seno de 60 grados que es raíz de 3 entre 2 y esto todavía se simplifica más porque este esto se cancelan y nos queda de 3 y esto es muy muy muy emocionante porque un problema que parecía muy complicado y muy muy espeluznante resulta que tiene un resultado muy sencillo como la raíz cuadrada de 3 verdad entonces este problema el valor de esta expresión es raíz de 3 ahora si tienes mucha curiosidad de donde obtuve este problema en realidad fue de un examen la prueba y tj de 2010 que es un examen que le hacen a muchos chicos que están en india para su ingreso a las universidades de ingeniería y de ciencias allá de niña espero te haya gustado mucho este problema a mí la verdad les confieso me fascinó