Reacción de primer orden (con cálculo)

digamos que tenemos una reacción de primer orden en la que nuestro reactivo se transforma en nuestros productos y además sabemos cuál es la concentración del reactivo al tiempo cero y también al tiempo t ok ahora lo que vamos a hacer es utilizar lo que sabemos acerca de la velocidad de cualquier reacción de primer grado aunque por ejemplo sabemos que la velocidad promedio de la reacción se puede escribir como el cambio en la concentración de a entre el cambio en el tiempo y cómo es nuestro reactivo y está desapareciendo entonces ponemos un menos por aquí para que la velocidad promedio sea positiva aunque esto ya lo vimos en un vídeo pasado ahora por otro lado también tenemos la ley de la reacción y sabemos que la velocidad de la reacción es igual a la constante de velocidad por la concentración de a elevada a la primera potencia y ponemos este exponente porque ya sabemos que esta reacción es una reacción de primer orden y también hemos hablado de esto en un vídeo pasado ahora aquí hay un detalle muy importante y es el hecho de que esta es la velocidad de la reacción en un punto en el tiempo ok sí tenemos una concentración de a por ejemplo digamos que es la concentración de a en el tiempo ese entonces sabemos cuál es la velocidad de la reacción en el tiempo ese y por lo tanto está r es distinta de esta otra no que hay porque está r es la velocidad promedio de la reacción que es como si sacáramos el promedio de todas estas velocidades instantáneas a lo largo del intervalo de 0 a t aunque entonces no podríamos decir que son iguales sin embargo sí el intervalo sobre el cual estamos tomando todos los promedios si este incremento en el tiempo lo hiciéramos cada vez más chico entonces esta velocidad promedio de reacción se parecería cada vez más a la velocidad instantánea de la reacción pero si hacemos cada vez más chico el incremento lo que obtenemos es la derivada macri haciendo el incremento de t cada vez más chico lo que obtenemos es la derivada de la concentración de a con respecto al tiempo y por aquí tenemos un signo menos y ahora si esta derivada es igual a la velocidad de la reacción que como tenemos aquí en la ley de la velocidad de esta reacción de primer orden la velocidad de la reacción es igual a la constante de velocidad por la concentración de a elevada a la primera potencia y tenemos esta igualdad para cualquier punto en el tiempo y como aquí tenemos derivada esto se llama una ecuación diferencial que si podemos resolver y cuando resolvemos esta ecuación diferencial lo que vamos a obtener es la concentración de a como una función del tiempo aunque vamos a obtener la concentración de a como función del tiempo también lo tenemos por aquí para resolver esta ecuación diferencial lo primero que tenemos que hacer es separar las variables si es que tenemos que poner a todo lo que involucre a la concentración de a de un lado de la igualdad y a lo que involucra el tiempo en el otro lado entonces vamos a dividir de los dos lados del igual entre la concentración de a y la verdad es que queremos poner el diferencial de t del lado derecho no podemos decir que multiplicamos por el diferencial de t pero pues esta ecuación si es equivalente a la que voy a poner a continuación de concentración de a entre la concentración de a es igual a menos menos k por dt d y ahora ya estamos listos para integrar entonces vamos a integrar esto con respecto a la concentración de a y de este lado vamos a integrar con respecto al tiempo aunque hay pero como acá es una constante con respecto al tiempo puede salir de la integral y ahora tenemos que poner los límites de integración y vamos a utilizar estos límites de integración aquí estamos integrando con respecto al tiempo entonces vamos a integrar de 0 a t que integramos de 0 a t y por acá vamos a integrar con respecto a la concentración de a y cuando el tiempo es igual a cero el tiempo es igual a cero la concentración de a es igual a la concentración de a en el tiempo cero entonces por aquí tenemos que integrar desde la concentración de a en el tiempo cero hasta la concentración de a en el tiempo de concentración de a en el tiempo t ya esto generalmente le llamamos la concentración inicial y esta es la concentración de a en cierto tiempo t entonces ya estamos listos para la integración podemos identificar aquí que esta es la derivada del logaritmo natural entonces la integral va a ser el logaritmo natural de la concentración de a que es nuestra variable evaluada desde la concentración inicial de hasta la concentración de a en el tiempo de concentración de a en el tiempo te por aquí tenemos un igual tenemos menos acá menos y luego esta integral es simplemente está evaluada desde cero hasta t desde cero hasta t y para hacer esto lo que hicimos fue utilizar el teorema fundamental del cálculo y ahora ya nada más tenemos que evaluar estas expresiones en estos límites ahí tenemos el logaritmo natural evaluado en la concentración de a al tiempo que el logaritmo natural de la concentración de a evaluada al tiempo t - menos el logaritmo natural evaluado en la concentración de a al tiempo inicial logaritmo natural de la concentración de a el tiempo cero y esto es igual a menos acá por t evaluada en t o sea menos 0 pero bueno eso no lo vamos a poner porque es un 0 y entonces ya obtuvimos la ley de velocidad integrada a cabo al menos una forma de describirla aunque esta es la ecuación para las reacciones de primer orden que es la ley de velocidad integrada para reacciones de primer orden y pues podemos seguir y escribir la de otra forma pero esta ecuación es muy útil para calcular algunas cosas como vamos a ver que ahí vamos a seguir adelante vamos a reescribir la ley de velocidad integrada pero vamos a poner ahora el logaritmo de la concentración inicial de a del otro lado del igual acá y sumamos logaritmo natural de la concentración inicial de a de los dos lados del igual y lo que nos queda es que el logaritmo natural de la concentración de a en el tiempo t es igual a menos que por el tiempo más el logaritmo natural de la concentración de a al tiempo inicial y la razón por la que yo quería reescribir esta ecuación de esta forma es para que sea súper claro que aquí lo que tenemos es la ecuación de una recta porque si tenemos la concentración de a inicial o sea en el tiempo fijo cero entonces esto de aquí es una constante con respecto al tiempo y tenemos el tiempo multiplicado por un coeficiente y entonces esta es la ecuación de una recta aunque aquí podemos ponernos a pensar que igual a m x ve mx más ve es la gráfica de una línea recta y si quisiéramos graficar esto de aquí en el eje h pondríamos a logaritmo natural de la concentración de gente y luego en el eje x pondríamos a t kioto y entonces la pendiente de esta recta es menos acá y luego la ordenada al origen la intersección con el eje es el logaritmo natural de la concentración de a al tiempo cero ok entonces vamos a graficar lo por aquí tenemos el eje de y por acá tenemos el eje x en el eje y vamos a colocar el logaritmo natural de la concentración de al tiempo t y en el eje x vamos a colocar el tiempo entonces a la hora de graficar esto nos va a quedar una línea recta digamos que empezamos por aquí y nos vamos en línea recta hasta acá y este punto de aquí es la ordenada al origen entonces esta altura debe de ser el logaritmo natural de la concentración de a en cero ok esta altura es el logaritmo natural de la concentración inicial de a y la pendiente de la recta es igual a menos acá entonces la pendiente de esta recta es igual a menos que lo que haya menos la constante de velocidad entonces la gráfica del logaritmo natural de la concentración de a con respecto al tiempo es una línea recta cuya pendiente es igual a menos la constante de velocidad de la reacción y como vamos a ver en el próximo vídeo saber esto es muy útil para poder calcular la constante de velocidad a partir de datos experimentales acerca de la concentración de a