El primer término en una serie de Fourier

hace ya varios vídeos e introduje la idea de lo que es una serie de furia en donde tomamos una función periódica verdad como en el ejemplo que tenemos aquí que es una onda cuadrada verdad y la podemos representar como la suma de senos y cosenos con pesos verdad y luego tomamos todo un intermedio bastante largo para poder prepararnos con las bases matemáticas en donde tomábamos integrales de senos y cosenos verdad combinaciones de ellos sobre el periodo de esta función verdad que en este caso es de periodo 2 p verdad la función periódica y obtuvimos todas estas propiedades ahora vamos a beneficiarnos de todas estas propiedades desde estas propiedades y en realidad lo que vamos a hacer es tratar de hallar fórmulas para los coeficientes de furia de nuestra función muy bien entonces esto espero que sea bastante directo aplicando lo que ya hemos visto en los vídeos anteriores y luego lo vamos a aplicar a la onda cuadrada para que se para que se vea que en realidad puede ser bastante sí cómo hacerlo así que aquí abajo he reescrito la digamos la expresión en serie de furia de verdad en una función efe dt con periodo 2 y vamos a utilizar las propiedades anteriores para poder calcular quiénes son nuestros coeficientes muy bien y en este vídeo sólo vamos a tratar de hallar a 0 que es el primer término el término constante y en los próximos vídeos hallaremos a n para en arbitraria y también b n quizás en vídeos separados ahora para poder hallar a 0 tomaremos lo que es la integral desde 0 a 2 pide nuestra función muy bien entonces ese será el primer paso vamos a tomar la integral de 0 a 2 piden nuestra función con respecto a t verdad y como esto es una igualdad esto será lo mismo a tomar la integral de 0 a 2 pi de toda esta expresión verdad que esto da una una suma infinita de distintos términos y vamos a integrarlo con respecto a te verdad entonces en realidad como tenemos la integral de una de un montón de sumas verdad de distintos términos esto será igual a la integral o más bien a la suma de todas las integrales duraban entonces déjenme quitar esto y quitar esto y esto en realidad va a ser la integral de este término con respecto a t la integral de este término con respecto a t la integral de este término con respecto a t entonces podrás darte cuenta que esto ya se volvió algo muy monótono la integral de 0 a 2 p con respecto a t la integral de 0 a 2 pi con respecto a t la integral de 0 a 2 pi con respecto a t y así sucesivamente verdad entonces ahora lo que podemos observar de cada una de estas integrales es que estas constantes verdad estas constantes como están multiplicando la función pueden salir hacia afuera de las integrales y ésta puede salirse para acá por ejemplo de este lado esta puede salirse esta puede salirse de la integral verdad y ese es un siguiente paso que podemos hacer para tratar de simplificar todo esto verdad y en realidad si nos damos cuenta en estos términos que tenemos aquí abajo sólo nos quedan integrales de senos y cosenos verdad de hecho escogen la integral de cocina integral de ese 9 integral de coseno de 2 t integral de cocina de nt integral de seno tnt y de hecho como podrás darte cuenta ya vimos en vídeos anteriores que la integral del seno de múltiplos de t y la integral del coseno de múltiplos de t son 0 para cualquier m entero en el caso del seno y vale 0 para cualquier m entero no nulo en el caso del coseno verdad justamente los casos que tenemos aquí abajo muy bien entonces esta integral vale 0 este integral vale 0 está también vale 0 vale 0 vale 0 todas estas integrales que tenemos aquí valen 0 verdad entonces con qué nos vamos a quedar pues simplemente nos quedamos con esta integral que tenemos acá arriba y de hecho quizás debería irla simplificando esta integral cuanto vale bueno pues tendremos que hacer o también se puede salir de la integral verdad también puede salir de la integral y entonces tendríamos a sub zero verdad por la integral de cero a dos pi de uno o podríamos simplemente dejarlo como la integral de t verdad y esto quien sería pues esto sería a cero por la anti derivada de uno que sería t aquí tendríamos t evaluada de 0 a 2 pi y esto es simplemente a 0 que multiplica a 2 -0 verdad y por supuesto esto simplemente lo podemos dejar como 2 pi entonces vamos a dejarlo esto como a 0 por 2 pi muy bien y finalmente ahora podemos calcular quién es acero verdad porque regresamos a nuestra expresión original y lo que tenemos es la integral de 0 a 2 pi de nuestra función efe de james y estamos integrando con respecto a t verdad es lo que tenemos del lado izquierdo y del lado derecho tenemos esta integral que ya calculamos que es a 0 a 0 a 0 x 2 x 2 entonces despejamos a sub zero simplemente dividimos de ambos lados entre 2 pi y tenemos que hacer o es igual a 1 entre 2 1 / 2 p por la integral de 0 a 2 pi de nuestra función efe dt y estamos integrando por supuesto con respecto a t y esto es bastante bastante interesante porque lo que nosotros tenemos del lado derecho es justamente el valor promedio de nuestra función en el periodo o en la longitud de digamos en el intervalo 02 de verdad entonces esto será el valor promedio el valor promedio de nuestra función efe te voy a ponerlo bien de la función efe dt en el intervalo 0,2 bien esa es una de las interpretaciones de acero y espero que esto sea bastante intuitivo porque si regresamos a nuestra imagen que teníamos originalmente digamos y regresamos a esta imagen de aquí nosotros sabemos que el seno y el coseno verdad en realidad son funciones que están oscilando entre 1 y 1 así que por ejemplo aquí a 0 inicialmente lo que hace es desplazar nuestra función verdad lo que hace es desplazar la función y ahora suena bastante intuitivo que queramos desplazar nuestra función hacia el valor promedio de nuestra función verdad entonces por ejemplo más o menos aquí se vería el valor promedio de la onda cuadrada verdad entonces ahora queremos que la función esté oscilando alrededor del valor promedio y esta es la interpretación de azul cero es el valor promedio de nuestra función