Masa que se columpia en un círculo horizontal

aquí quiero enseñarles a resolver un problema un poco más sofisticado de fuerza centrípeta y este es un problema clásico aquí tenemos una masa que está atada a una cuerda que a su vez está atada al techo y a esta masa se le da una rapidez inicial y va a girar en un círculo horizontal esta masa va a mantener una altura constante no va a estar cambiando su altura va a estar dando vueltas en un círculo horizontal y si observan esto desde arriba o desde abajo se verá como un círculo perfecto en donde esta masa estará dando vueltas y vueltas y aquí tenemos dos preguntas que resolver tenemos que encontrar la atención de esta cuerda y encontrar la rapidez de esta pelota y aquí nos dan estos datos tenemos que esta masa es de 3 kilogramos la longitud de la cuerda es de 2 metros y esta cuerda va a estar girando con un ángulo de 30 grados con respecto a esta línea que coincide con el centro de este círculo y este es un problema clásico por una buena razón ya que si no tenemos bien claros los conceptos involucrados aquí con la fuerza centrípeta y no tenemos una estrategia para solucionar este tipo de problemas al tratar de resolver este problema se van a hacer evidentes nuestras fallas aquí vamos a clarificar estos conceptos que involucran la fuerza centrípeta y además vamos a ver la estrategia a seguir no solo para resolver problemas de fuerza centrípeta sino cualquier problema que involucre fuerzas esta estrategia es la siguiente lo primero que hay que hacer es dibujar un buen diagrama de fuerzas dibujar un diagrama de fuerzas cuáles son las fuerzas que actúan en esta masa de 3 kilogramos una de las fuerzas que actúa aquí es la fuerza de gravedad que nos jala directamente hacia abajo y para encontrar esta fuerza de gravedad usamos la fórmula de masa por jeques 9.8 metros por segundo al cuadrado y el otro objeto que está tocando a esta masa es esta cuerda por lo que voy a tener aquí mi fuerza de tensión está la denominamos usando una t mayúscula que representa la fuerza total de tensión que está actuando en esta cuerda y el segundo paso y último de esta estrategia es usar la segunda ley de newton pero solo hay que aplicarla en una dirección cada vez y típicamente tenemos solo dos direcciones esta dirección vertical o esta dirección horizontal y tenemos una probabilidad del 50% de elegir la dirección correcta tenemos que elegir una de las direcciones y aquí no hay problema de elegir la dirección incorrecta si eligiéramos la dirección incorrecta nos daríamos cuenta porque tendríamos demasiadas variables y no podríamos resolverlas pero lo que hayamos escrito para resolver esa parte nos va a servir nos va a servir para nuestros cálculos usando la otra dirección así que no borran los cálculos que hayan hecho si es que eligieron la dirección incorrecta simplemente hagan los cálculos para la otra dirección aquí yo ya sé cuál es la dirección correcta porque ya he resuelto este tipo de problemas antes pero de no ser así lo peor que podemos hacer es quedarnos sin saber qué hacer tenemos que intentar estos cálculos con alguna dirección cualquiera que sea que elijamos no pasa nada si nos equivocamos solamente tenemos otra dirección que elegir busque a alguien dice que la dirección a elegir es la vertical así que vamos a tener nuestra aceleración en la dirección vertical que es igual a la fuerza neta que está actuando sobre este objeto en esta dirección entre la masa de este objeto y ahora me pregunto cuál es la aceleración en la dirección vertical algunas personas podrían pensar que es 9.8 o menos 9.8 pero esto sólo sería correcto si esta bola estuviera en caída libre y en este caso esta bola no está en caída libre al contrario no está cambiando su altura vertical permanece en una altura constante por lo que aquí no hay una velocidad vertical y por lo tanto tampoco va a haber una aceleración vertical ya que esta pelota no se está moviendo verticalmente así que del lado izquierdo de nuestra igualdad va a haber un ser los cero son geniales nos facilitan mucho los cálculos y cuál va a ser la fuerza neta en la dirección vertical aquí vamos a poner la fuerza de gravedad porque definitivamente es una fuerza vertical pero aquí hay que tener cuidado si vamos a considerar la dirección hacia abajo como negativa y hacia arriba como positiva esta fuerza de gravedad va a ser negativa porque apunta hacia abajo cuando estamos trabajando con la dirección vertical la convención típica es que las direcciones hacia abajo son negativas y las que van hacia arriba son positivas y ahora nos preguntamos hay alguna otra fuerza vertical aquí pues lo que tenemos que hacer es ver nuestro diagrama de fuerzas para eso lo dibujamos ya que aquí nos va a decir si hay alguna otra fuerza vertical y la única otra fuerza vertical es esta y sólo una parte de esta fuerza de tensión es la que va en la fórmula no puedo poner toda la fuerza de tensión aquí porque no toda esta es la dirección completamente vertical pero no es así la parte está vertical y otra parte está horizontal una parte de esta fuerza de atención está aquí en dirección horizontal y a este componente le voy a llamar la fuerza de atención en la dirección horizontal de x y parte de esta atención tendrá un componente vertical y a éste le voy a llamar el componente vertical de ella por lo que solo puedo incluir ese componente vertical en nuestra fórmula ya que es el único que tiene la dirección vertical así que aquí puedo escribir masters pero no lo voy a hacer porque lo que me preguntan este la atención no el componente vertical de esta así que lo quitamos quiero escribir mi tesis en términos de t y cómo puedo hacerlo bueno vemos que aquí se está formando un triángulo y este ángulo es el mismo que el que está formando la cuerda con esta línea vertical la atención no es acuerda la atención es la fuerza ejercida por la cuerda en la masa y aunque la atención tiene la misma dirección que la cuerda la atención no es la cuerda y este es un error muy común muchas personas dicen pues la atención va a ser igual a los dos metros es correcto no esto ni siquiera es una fuerza así que no vamos a incluir esto aquí así que aunque la atención tiene la misma dirección que la cuerda no es lo mismo sin embargo el ángulo que forma la cuerda con esta línea vertical va a ser el mismo ángulo que tendremos aquí 30 grados y ahora puedo poner el componente vertical en términos de la atención y del ángulo este es un triángulo rectángulo y este lado es el lado adyacente a este ángulo de 30 grados por lo tanto vamos a usar el cose no decimos que el coseno de teta es igual al lado adyacente entre la hipotenusa a veces algunas personas se confunden diciendo bueno es que este lado es el que está vertical y yo pensé que siempre el lado vertical es el opuesto y sería el opuesto si el ángulo que usáramos fuera este pero este no lo conocemos el ángulo que conocemos es este y este es el lado adyacente a este ángulo conocemos el ángulo por lo que podemos decir que el coseno de 30 grados es igual al lado adyacente que este eje entre la hipotenusa que esté y en muchas personas esto los confunde ya que les parece que tenemos muchas variables pero esto está bien vamos a etiquetar estate como nuestra hipotenusa y vamos a hacer algunas manipulaciones para poder encontrarte si multiplicamos ambos lados por t y nos queda que tg es igual a t por el coseno de 30 grados y esto es lo que voy a poner en mi fuerza neta vertical voy a poner más ya que la dirección es hacia arriba t por el coseno de 30 grados y ahora sólo tengo que dividir todo esto entre mi masa y ahora tengo que despejar t multiplicó por m a ambos lados de la igualdad m por 0 sigue siendo 0 y voy a sumar m g en ambos lados y me va a quedar que t es igual a m por g positivo / el coseno de 30 grados si ponemos números nos queda que t es igual a tres kilogramos por 9.8 metros por segundo al cuadrado entre el coseno de 30 grados lo que nos da una tensión de 33.9 newtons que voy a redondear a 34 newtons y esta es la atención que yo quiero encontrar en esta cuerda ya encontramos esto ahora vamos a encontrar la rapidez y aquí algunas personas dicen bueno que voy a hacer no se preocupen no se desvíen de la estrategia dibujamos nuestro diagrama de fuerzas y vamos a usar la segunda ley de newton en una dirección y tenemos trabajo que hacer pues vamos a usar la segunda ley de newton para la otra dirección así que vamos a usar esto pero en la dirección x por lo que digo que mi aceleración en la dirección horizontal es igual a la fuerza neta esta dirección horizontal entre la masa y ahora me pregunto lo mismo hay alguna aceleración en la dirección horizontal cuando teníamos la dirección vertical vimos que no había aceleración y quizás podríamos pensar que en la dirección horizontal tampoco va a haber pero si nos fijamos aquí nuestra masa se va a mover circularmente por lo que aquí habrá una aceleración centrípeta por lo que esta dirección horizontal realmente va a ser la dirección centrípeta y siempre que nos encontremos la aceleración centrípeta podremos reemplazarla con b al cuadrado entre el radio de la ruta circular y esto va a ser igual a la fuerza centrípeta neta sobre esta masa y cuáles son las fuerzas centrípetas en esta dirección puede ser a la fuerza que esté actuando en la dirección x en la dirección horizontal la dirección horizontal es aquella que resulta que esté apuntando hacia el centro del círculo y es por eso que la dirección aquí es la dirección centrípeta y si yo quiero conocer cuáles son las fuerzas centrípetas me fijo en mi diagrama de fuerzas de manera que con sólo verlo puedo identificar cuáles son las fuerzas que actúan verticalmente y también cuáles son las fuerzas horizontales y centrípetas y la única fuerza que tiene esta dirección horizontal es este componente de la atención tx pero nuevamente en lugar de poner directamente esta tx aquí la vamos a poner pero en términos de la atención total y del ángulo de la misma manera que lo hicimos aquí que es igual a t por el coseno de 30 grados por lo que no nos debe de sorprender que nuestro componente horizontal tx sea igual a t por el seno de 30 grados y si no me creen pueden probarlo usando las fórmulas trigonométricas este componente tx es el lado opuesto al ángulo y el lado opuesto involucra al seno podemos decir que el seno de 30 grados es igual a el lado opuesto que esté x entre la hipotenusa que éste y si despejamos la t vamos a multiplicar t en ambos lados de la ecuación y nos queda que te x es igual a t por el seno de 30 grados así que ponemos esto en nuestra fórmula ya que sabemos que la única fuerza que está actuando en el sentido horizontal es esta entonces aquí ponemos t por el seno de 30 grados no hay ninguna otra fuerza que esté actuando en la dirección horizontal y ahora se pueden dar cuenta de él porque no elegí esta dirección primero ya que desconozco esta velocidad y mi interrogante es atención t solamente porque elegimos primero la dirección vertical es que pudimos encontrar la atención y ahora sí con este dato de la atención puedo encontrar la rapidez ya que ya conozco esta t así que ahora pongo esta atención de 34 newtons aquí y puedo encontrar la rapidez pero aquí hay otro error muy común las personas siempre quieren poner aquí en lugar de la r los dos metros porque dicen bueno tú me estás dando aquí estos dos metros pues los voy a usar voy a usarlos ya que esto es cierto no esto no es r cuando estamos trabajando con la fórmula de aceleración centrípeta está r se refiere al radio de la ruta circular que está siguiendo este objeto pero este objeto no se está moviendo en un círculo que tenga un radio de 2 metros este objeto se está moviendo en un círculo que tiene un radio más o menos así y cuánto va a medir este radio del círculo bueno si queremos encontrarlo vamos a formar un triángulo rectángulo pero ahora tendremos el triángulo con referencia a la longitud de la cuerda no es con respecto a la atención sino con respecto a la longitud de la cuerda este es un triángulo rectángulo conocemos el ángulo y este lado que es el radio es el lado opuesto al ángulo por lo que vamos a usar el seno de theta podemos decir que el seno de eta que es de 30 grados es igual al lado opuesto que es r entre la hipotenusa que es la longitud de la cuerda que es el así que si quiero conocer r voy a despejarlo multiplicando a ambos lados por l y me va a quedar que r es igual a él por el seno de 30 grados así que el radio de este círculo es el que es esta longitud de la cuerda de 2 metros por el seno de 30 grados ahora vamos a usar esto en la fórmula y nos va a quedar d al cuadrado entre r pero r encontramos que es l por el seno de 30 grados que es igual a t por el seno de 30 grados entre la masa si despejamos de cuadrada nos va a quedar que b cuadrada es igual a t por el seno de 30 grados por l por el seno de 30 grados todo esto dividido entre la masa y como quiero conocer la rapidez no la rapidez al cuadrado puede sacar la raíz cuadrada en ambos lados de esta igualdad de manera que me queda que la rapidez es igual a la raíz cuadrada de todo esto si ponemos los números nos queda que esto es igual a la raíz cuadrada de t que es 34 newtons por el seno de 30 grados x l son estos dos metros por el seno de 30 grados completo esto de aquí todo esto dividido entre la masa de 3 kilogramos todo esto nos da una rapidez de 2.38 que voy a redondear a 2.4 metros por segundo que es la rapidez que tratamos de encontrar en resumen cuando tratamos de resolver un problema sofisticado de fuerza centrípeta asegúrense de dibujar un buen diagrama de fuerzas y después apliquen la segunda ley de newton para una sola dirección y sólo usen fuerzas que estén en esa dirección para la fuerza neta y si la dirección elegida resulta estar en la dirección centrípeta es decir que apunta hacia el centro del círculo entonces podremos usar b al cuadrado entre r en lugar de nuestra aceleración centrípeta pero nuevamente solo tenemos que incluir aquellas fuerzas que están en esa dirección para la fuerza centrípeta y asegúrese de comprender de qué es r el radio del que hablamos es el radio de la ruta circular en la que está viajando el objeto