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Curso: Lecciones de física > Unidad 6

Lección 2: Colisiones elásticas e inelásticas

¿Qué son los choques elásticos e inelásticos?

Los choques pueden ser elásticos o inelásticos. Aprende acerca de las cantidades que se conservan y las que no durante los choques elásticos o inelásticos.

¿Qué es un choque elástico?

Un choque elástico es un choque en el cual no hay pérdida de energía cinética en el sistema como resultado del choque. Tanto el momento (ímpetu o cantidad de movimiento) como la energía cinética, son cantidades que se conservan en los choques elásticos.

Supón que dos tranvías parecidos viajan en direcciones opuestas con la misma rapidez. Chocan y rebotan sin ninguna pérdida en la rapidez. Este choque es perfectamente elástico porque no se pierde energía.

En realidad, los ejemplos de choques perfectamente elásticos no forman parte de nuestra experiencia diaria. Algunos choques entre átomos en los gases son ejemplos de choques perfectamente elásticos. Sin embargo, en mecánica hay algunos ejemplos de choques en donde la pérdida de energía puede ser despreciable. Estos choques se pueden considerar como elásticos, aunque en realidad no son perfectamente elásticos. Los choques de bolas de billar rígidas o las bolas en un péndulo de Newton son dos de esos ejemplos.

¿Por qué habríamos de aproximar un choque como si fuera perfectamente elástico?

Dado que es muy poco probable que encontremos un problema de mecánica que involucre un choque perfectamente elástico, puede parecer que este concepto tiene poca utilidad práctica. Sin embargo, suele ser muy útil. Esto es porque el requerimiento de que la energía cinética se conserve le impone una restricción adicional a nuestras ecuaciones de movimiento. Esto nos permite resolver problemas en los cuales, de lo contrario, tendríamos demasiadas incógnitas. A menudo, la solución será muy adecuada porque el choque es 'suficientemente cercano' a ser perfectamente elástico.

Supón que ocurre un choque directo entre dos tranvías (A y B) en una vía. Queremos saber las velocidades finales (subíndice f) para ambos tranvías, pero solo nos dan las velocidades iniciales

v_{A i}

v_{B i}

. Al aplicar la conservación del momento, podemos ver que tenemos una ecuación con dos incógnitas,

v_{A f}

v_{B f}

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

Como la energía cinética también se conserva, de manera simultánea tenemos otra restricción:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

Como ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, sabemos que podemos resolver completamente el sistema al usar ecuaciones simultáneas para determinar ambas velocidades.

Resolver estas ecuaciones es algo tedioso. Por ahora, simplemente mostramos el resultado:

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

De la conservación del momento:

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

y de la conservación de la energía cinética:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

Después de simplificar y reacomodar la ecuación de la energía cinética:

m_{A} (v_{A i}^{2} - v_{A f}^{2}) = m_{B} (v_{B f}^{2} - v_{B i}^{2})

Al usar el método de factorización en binomios, esto se puede escribir como:

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) (v_{A i} + v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i}) (v_{B f} + v_{B i})

Ahora, de vuelta a nuestra ecuación de la conservación del momento, esta se puede escribir de una forma parecida:

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i})

Ahora, al dividir estas dos ecuaciones una entre la otra, nos da un resultado sencillo:

v_{A i} + v_{A f} = v_{B f} + v_{B i}

v_{B f} = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}

Ahora podemos sustituir esto en nuestra ecuación original de la conservación del momento. Podemos acomodar la ecuación para poner todos los términos de

V_{A f}

del lado derecho:

\begin{aligned} m_{A} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} (v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}) \\ = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} - m_{B} v_{A f} + m_{B} v_{B i} \\ m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} + m_{B} v_{B i} \end{aligned}

Al factorizar las velocidades nos da:

(m_{A} + m_{B}) v_{A f} = (m_{A} - m_{B}) v_{A i} + 2 m_{B} v_{B i}

Que se puede reacomodar para darnos el resultado final para

v_{A f}

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Ahora podemos sustituir esto de regreso en el resultado de nuestra división anterior:

\begin{aligned} v_{B f} & = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i} \\ = v_{A i} + (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i} - v_{B i} \end{aligned}

Ahora podemos agrupar todos los términos de la velocidad y usar un denominador común que sea igual a la suma de las masas:

v_{B f} = \frac{(m_{A} + m_{B}) + (m_{A} - m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{A i} + \frac{2 m_{B} - (m_{A} + m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{B i}

Que se puede simplificar en la forma final:

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Lo interesante acerca de estas soluciones son los casos límite que se aplican para distintas configuraciones de choques directos. Estas nos pueden ayudar a tener un poco de comprensión intuitiva de lo que ocurre en situaciones tales como los choques elásticos en una demostración de un péndulo de Newton.

El objeto A choca con un blanco B de igual masa que está en reposo:

v_{A f} = 0

v_{B f} = v_{A i}

El objeto que impacta se detiene por completo, el otro gana la misma velocidad que la que tenía el objeto que impactó.

Este es exactamente el tipo de interacción que vemos en un péndulo de Newton. Cuando una bola que se jala y se suelta choca en un extremo del péndulo, del otro lado siempre se columpia otra bola. En principio, el momento también se podría conservar si dos bolas se columpiaran, cada una con la mitad de la rapidez original. Sin embargo, los choques son (casi) elásticos. La única manera de asegurarnos de que haya conservación tanto de momento como de energía cinética, es si solo se columpia una bola.

El objeto A choca un objeto B con la misma masa. Los objetos tienen la misma velocidad pero en direcciones opuestas.
$v_{A f} = v_{B i}$ ‍, $v_{B f} = v_{A i}$ ‍

Los dos objetos rebotan entre sí, intercambiando sus velocidades. Es interesante que este resultado también se mantiene para dos objetos que chocan con momentos iguales pero en direcciones opuestas: los objetos intercambiarán sus momentos. Este es un resultado muy útil que nos permite simplificar problemas de choques elásticos que, de lo contrario, serían complicados. Nuestro artículo sobre el centro de masa tiene un ejemplo que hace uso de este hecho para simplificar el cálculo de un choque elástico con dos objetos que se mueven.

Un objeto pesado que choca con uno mucho más ligero que está en reposo.
La velocidad final del objeto pesado tiende a su velocidad inicial. Esto es bastante intuitivo; el objeto ligero tiene poco efecto sobre el pesado.
Un objeto ligero choca con uno mucho más pesado que está en reposo.
El objeto ligero rebota en el pesado, manteniendo la misma rapidez pero con dirección opuesta. El objeto pesado permanece en reposo.

Ejercicio 1a: un jugador de bádminton hace un servicio. Con una cámara de alta velocidad se mide que la rapidez de su raqueta es de

v_{r} = 20 m / s

justo antes de golpear el gallito. De manera aproximada, ¿a qué velocidad esperarías que esté viajando el gallito después del choque?

Ejercicio 1b: si la raqueta tiene una masa de

m_{r} = 100 gramos

y el gallito de

m_{g} = 5 gramos

, calcula la velocidad exacta del gallito,

v_{g}

, suponiendo que el choque es elástico.

¿Qué es un choque inelástico?

Un choque inelástico es en el que hay una pérdida de energía cinética. Mientras que en este tipo de choques se conserva el momento del sistema, la energía cinética no. Esto es porque una parte de la energía cinética se le transfiere a algo más. La energía térmica, sonora y deformaciones de los materiales son probables culpables.

Supón que dos tranvías parecidos viajan uno hacia el otro. Chocan, pero como los tranvías están equipados con acopladores magnéticos, se juntan en el choque y quedan como una sola masa conectada. Este tipo de choque es perfectamente inelástico porque se pierde la mayor cantidad posible de energía cinética. Esto no significa que la energía cinética final sea necesariamente cero: el momento debe seguir conservándose.

La mayoría de los choques en el mundo real están en algún punto entre ser perfectamente elásticos y perfectamente inelásticos. Una pelota que se deja caer desde una altura

h

sobre una superficie suele rebotar de regreso hasta una cierta altura menor que

h

, dependiendo de qué tan rígida sea la pelota. Tales choques son simplemente llamados choques inelásticos.

¿Hay ejemplos de choques perfectamente inelásticos?

El péndulo balístico es un dispositivo práctico en el cual ocurre un choque inelástico. Hasta la llegada de los instrumentos modernos, el péndulo balístico se usaba mucho para medir la rapidez de los proyectiles.

En este dispositivo, se le dispara un proyectil a un bloque pesado de madera suspendido. Inicialmente, el bloque de madera está en reposo. Después del choque, el proyectil queda incrustado en el bloque. Un poco de energía cinética se transforma en calor y en sonido, y se usa para deformar el bloque. Sin embargo, el momento debe seguir conservándose. En consecuencia, el bloque se columpia con cierta rapidez. Después del choque, el bloque se comporta como un péndulo en el cual se conserva la energía mecánica total. Por esto, podemos usar la altura máxima del péndulo para determinar la energía cinética del bloque después del choque y luego, al usar la conservación del momento, podemos encontrar la velocidad inicial del proyectil.

Sabemos que en este choque solo se conserva el momento. Así que el momento del proyectil antes del choque debe ser igual al momento del sistema proyectil-bloque inmediatamente después del choque. Aquí usamos el subíndice

B

para el bloque y

P

para el proyectil.

v_{B}

es la velocidad del bloque justo después del impacto.

m_{P} v_{P} = (m_{B} + m_{P}) v_{B}

Después de reacomodar:

v_{B} = \frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}}

Sabemos que después del choque se conserva la energía mecánica del sistema bloque-proyectil, así que el bloque se eleva a una altura máxima

h

bajo la influencia de la aceleración gravitacional

g

, entonces:

\frac{1}{2} (m_{P} + m_{B}) v_{B}^{2} = (m_{P} + m_{B}) g h

Después de reacomodar:

v_{B}^{2} = 2 g h

Al sustituir la velocidad inicial del bloque en nuestra expresión anterior de la conservación del momento:

\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}} = \sqrt{2 g h}

Así que después de un último reacomodo:

v_{P} = \frac{m_{P} + m_{B}}{m_{P}} \sqrt{2 g h}

Ejercicio 2a: supón que se le dispara una munición a un bloque de 1 kg que es parte de un péndulo balístico. El bloque se columpia a una altura de 0.3 m. ¿Cuál es la rapidez inicial de la munición?

Ejercicio 2b: supón que la munición del ejercicio anterior fuera reemplazada con una bala con la mitad de la masa y el doble de la rapidez inicial. ¿Sería seguro hacer el mismo experimento con el mismo aparato? ¿Esperarías el mismo resultado?

Como el momento de la bala es el mismo que el de la munición, deberíamos esperar la misma desviación. Al reacomodar nuestra expresión anterior para escribirla en términos de

h

h = \frac{1}{2 g} {(\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}})}^{2}

muestra que eso es cierto, en la medida en que la masa del bloque sea mucho mayor que la de la bala. Sin embargo, debemos reconocer que la energía cinética que se debe disipar en el bloque ahora es dos veces mayor. Esto significa que no es necesariamente seguro usar el mismo bloque. Puede explotar de forma impredecible.

¿Qué es el coeficiente de restitución?

El coeficiente de restitución es un número entre 0 y 1 que describe dónde cae una interacción en una escala entre perfectamente inelástica (0) y perfectamente elástica (1).

Para un objeto que rebota en un blanco fijo, el coeficiente de restitución es la razón de la rapidez final

v_{f}

entre la inicial

v_{i}

, es decir:

C_{R} = \frac{v_{f}}{v_{i}}

Los coeficientes de restitución de las pelotas deportivas comunes caen en un rango desde 0.35 para una pelota de cricket en una superficie de madera, hasta 0.9 para una pelota de golf que impacta un blanco de acero [1]. El coeficiente de restitución de una bola de billar puede ser de hasta 0.98 [2].

¿Qué es más perjudicial, un choque entre vehículos que sea casi elástico o casi inelástico?

Esto depende de a qué te preocupe hacerle daño, ¡si al vehículo o al ocupante!

Supón que un vehículo choca de manera elástica con otro objeto. El vehículo necesariamente va a rebotar. El cambio en el momento a medida que el vehículo rebota es mayor que en un choque equivalente pero inelástico. Por lo tanto, la fuerza sobre un ocupante es mayor y eso es claramente peor para el ocupante. Por otro lado, como es un choque elástico, no se disipa energía para deformar el vehículo. Por lo tanto, se minimizaría el daño a la estructura del vehículo.

Los vehículos modernos están diseñados para usar choques tanto inelásticos como elásticos en el caso de un accidente. El chasis de un vehículo está diseñado para absorber energía en un choque por medio de la alteración de zonas de deformación integradas en la estructura del vehículo. Sin embargo, el compartimento interior del pasajero está diseñado para ser resistente y minimizar el daño a los ocupantes.

Créditos

[1] A. Haron y K. A. Ismail 2012 Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test. En 'IOP Conference Series: Materials Science and Engineering' vol. 36 #1.

[2] Mathavan, S., Jackson, M.R. y Parkin, R.M, 2010. A theoretical analysis of billiard ball dynamics under cushion impacts. En 'Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science', 224 (9), pp. 1863 - 1873

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Christian Camilo Lancheros
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “Hello, I was reading the ...” de Christian Camilo Lancheros
Hello, I was reading the explication about tedious equoations but I don't understand that:

"Using the method of factoring binomials, this can be written

mA(v^2Ai–v^2af)(vAi+vAf)=mB(vBf–vBi)(vBf+vBi)"

I think that correct form is it:

mA(vAi-Vaf)(vAi+Vaf)=mB(vBf–vBi)(vBf+vBi)
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dany.alvarez042003
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “se dispara una bala cuya ...” de dany.alvarez042003
se dispara una bala cuya masa es de 0.01 kg en forma horizontal incrustandose en un bloque de madera de 10kg que esta en reposo. La madera y la bala adquieren una velocidad cuya magnitud es de 0.5m/s despues del impacto ¿cual es la magnitud de la velocidad inicial de la bala? la verdad no se como resolverlo
lo despeje asi:
v1=m1u1+u2-v2/mi y me dio 5m/s pero creo que esta mal
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “se dispara una bala cuya ...” de dany.alvarez042003
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alexa sandoval
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “como se puede sacar el co...” de alexa sandoval
como se puede sacar el coeficiente de restitucion en la calculadora
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- pa_u_los
  Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Inserta la razón entre la...” de pa_u_los
  Inserta la razón entre la velocidad final y la inicial.
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ChristianjApps
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “El ejercicio 2 esta mal r...” de ChristianjApps
El ejercicio 2 esta mal redactado, ya que se omite el valor de la masa del proyectil, necesaria para el calculo de la velocidad inicial del mismo.
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