El movimiento armónico (parte 3: sin cálculo)

si querías saltarte las partes de cálculo de esto del movimiento armónico ahorita es un muy buen momento para regresar porque ahorita ya no vamos a platicar casi nada acerca de cálculo pero vamos a hacer un pequeño repaso para eso aquí puse una gráfica es otra vez un resorte y simplemente es este mismo dibujo pero ahora lo puse de manera vertical ojo esto no quiere decir que ahora haya ninguna fuerza de gravedad actuando ni nada extraño sale simplemente lo puso lo puse de modo vertical y al lado de esta gráfica para que podamos compararlos y tus agarrarle un poquito más de intuición al asunto bueno como decíamos aquí en cero en cero el resorte está en su posición de reposo y ahí no pasa nada pero si ponemos una masa en un extremo del resorte y jalamos hasta este punto que era el punto a pues la fuerza restauradora iba a empezar a generar un movimiento que acababa haciendo el movimiento oscilatorio si aquí arriba teníamos una gran energía potencial que poco a poco se convertía en velocidad hasta llegar aquí donde la masa tenía mucha velocidad y bueno una gran energía cinética pero luego iba a empezar a desacelerar hasta llegar a este punto menos en ese momento la velocidad era cero pero ahora se iba a ir para arriba y seguíamos haciendo eso vale ahora eso se puede comparar con la gráfica de aquí a la izquierda que es básicamente lo mismo ahora empezamos aquí en este punto que es el de acá aquí no tenemos nada de velocidad la pendiente es 0 pero aceleramos y aceleramos si aceleramos y aceleramos hasta llegar aquí al punto de pendiente máxima o sea de velocidad máxima después de lo cual empezamos a desacelerar y desacelerar hasta llegar a este punto donde otra vez la velocidad de cero la masa está acá y bueno ahora vamos para el otro lado verdad otra vez aceleramos y aceleramos y aceleramos mucho hasta el cero y luego desacelera vamos y nos aceleramos hasta llegar al punto muy bien entonces eso fue eso bueno aquí está la interpretación pero además lo que vimos en vídeos pasados usando un poquito de ecuaciones diferenciales que era la parte de cálculo lo que vimos es que la posición del resorte al tiempo te estaba dada por esta ecuación de acá x de t es igual a a coseno de raíz de cada entre m por t muy bien esta ecuación y bueno no es que yo apoye memorizar cosas pero esta ecuación es muy útil memorizar la porque nos permite encontrar bueno no sólo la posición claramente nos permite encontrar la posición verdad porque pues es la adecuación de posición pero no sólo eso también nos permite encontrar otras cosas del resorte como su frecuencia o como su periodo o si sabemos un poquito de cálculo su velocidad va entonces para ver esta ecuación en acción vamos a encontrar digamos pues el período del sistema de este sistema de acá ahora ojo estoy aquí es un movimiento armónico simple sí entonces hasta ahorita no te había dicho pero es simple y lo que quiere decir es que se pueden modelar con una función trigonométricas como esta de acá modela cosas que oscilan sin considerar fricción bueno pasemos al periodo y a ese periodo ya le habíamos llamado te lo que lo que habíamos dicho es que es el tiempo que tarda vamos en regresar en regresar a la posición original la masa iba a menos a y luego regresaba a y todo ese tiempo que tardaba era un periodo va entonces cómo le podemos hacer para determinar el periodo pues lo que queremos es que la masa vuelva a alcanzar el punto a y aquí ya tenemos una expresión que nos dice dónde está la masa cuál es su posición entonces lo que queremos ver es donde x dt o sea para que valore sus dt x de t es igual a pero para eso conviene estudiar tantito que le pasa a kossen o no porque x dt es igual a a justo cuando coseno de esta expresión de aquí adentro es igual o sea coseno de esta expresión es igual a 1 entonces pregunta donde sucede donde sucede que coseno de un cierto ángulo teta es igual a 1 pues en cero es una posibilidad verdad teta de jose no de cero es es entonces cuando te es igual a cero cero quedó bien feo cuando teta es igual a cero tenemos que cocinó dt t es igual a 1 pero también al darle una vuelta del círculo unitario verdad en 2002 si si te estoy confundiendo un poco con cosas trigonométricas y 0 y 2 pi te recomiendo que le eches un ojo a los vídeos de funciones trigonométricas pero bueno en 0 en 2000 también en 4 p de hecho en todos los múltiplos de 2 pi tenemos que coseno de ese ángulo coseno de un múltiplo de 2 pi es igual a 1 eso está muy padre eso nos va a ayudar para ver donde x de tve vuelve a ser igual a entonces que necesitamos necesitamos que coseno de lo de aquí adentro sea igual a 1 y por lo tanto déjame tomar el color verde necesitamos que esta expresión sea xd xd t es igual a cuando esta expresión es igual a cero 2 y 4 y así sucesivamente pero lo que nosotros queremos es darlo en términos de t si queremos la menor te la menor te que haga que regresemos a entonces justo esa te corresponde cuando cuando tenemos que lo de aquí adentro es igual a 2 pib que entonces que necesitamos que necesitamos para encontrarte a pues este justo va a ser en el que esta expresión sea dos pi y vamos a ver cuánto es vamos a despejar t entonces estamos pidiendo que raíz de cada entre m década entre m porte sea igual a 2 p2p y por lo tanto multiplicando entre ambos lados por el inverso de raíz de cada entre m tenemos que el período que es igual es igual a 2 p2p por raíz de m entre k muy bien esto está bonito déjame ponerlo en un cuadro porque esta es una fórmula interesante que nos da el periodo nos del período de un resorte entonces si alguien no se vas caminando por la calle y alguien te pregunta lo siguiente o bien si estás en un examen y te piden el periodo de un de un resorte y tú conoces la masa y la constante entonces le puedes decir el periodo es 2 por píriz de m / k muy bien eso está muy padre pasemos a otra cosa ahora pasemos a la frecuencia la frecuencia de una cosa es cuántos ciclos da por segundo pero el periodo es cuántos segundos se tarda en cada ciclo entonces la frecuencia la frecuencia no es nada más que el recibió el recíproco del periodo es 1 / t es 1 / te va entonces la frecuencia es el recíproco del periodo y entonces nos quedaría igual a 1 / 2 pi y el recíproco de este de acá raíz de acá entre m bueno entonces aquí está la fórmula de la frecuencia esta es la fórmula del periodo y la verdad yo siempre siempre he tenido problemas para memorizar me cuál es cuál y luego me confundo si va a un 2 piso o qué cosa entonces pues prefiero memorizar me nada más la de la posición y a partir de ahí deducir estas dos sale deducir estas dos de acá entonces otra vez bueno para eso tengo que acordarme muy bien cómo funciona lo de las funciones trigonométricas así que te recomiendo que la re pases otra vez como te conté tengo vídeos de eso así que puedes ir a checar los en cualquier momento va ahora otra cosa interesante ya tenemos el periodo y ya tenemos la frecuencia pero hay algo padre ni el periodo ni la frecuencia dependen de a del punto al cual estiramos la masa eso está muy sorprendente no sea lo que nos está diciendo es que si ponemos la masa acá o si la ponemos acá de cualquier forma vamos a tratar lo mismo en regresar o vamos a dar los mismos ciclos por segundo entonces creo que es más claro si hago el dibujo aquí en la gráfica voy a ponerlo con este color rosa entonces digamos si en vez de estirarlo lo estiro como por aquí ahora el objeto empieza en esta posición y otra vez con velocidad cero misma idea va pero como tiene el mismo periodo como tiene el mismo período entonces volvemos otra vez en el mismo tiempo que esto está padre si simplemente ahora tenemos una menor amplitud tenemos una menor amplitud pero el periodo sigue siendo el mismo y ya nada más para finalizar déjame dar un ejemplo numérico porque a lo mejor bueno porque es bueno contarte esta cosa que te voy a decir porque algunas veces en los problemas nos piden no estirar la masa sino contraer la sino a éste apachurrar el resorte entonces pues podría ser que te digan que que se apachurra tres unidades entonces en este caso tendríamos que a es igual a menos tres y no sea de más pensemos que nos dicen que la constante del resorte si es que la masa es 2 va entonces si nos dan esta información nos dicen que estamos saturando el resorte 3 y a partir de aquí podemos determinar la ecuación de la posición del resorte otra vez nada más nos vamos acá arriba y tenemos que x de t es igual a que es menos 3 por coseno por ccoo seno de la raíz de acá entre m 10 entre 12 -cinco entonces nos quedaría raíz de 5 por t a partir de aquí ya podemos sacar periodo y velocidad si sabemos derivar y otras cosas pero observa lo más importante de este tema es aprenderse esta fórmula de acá o saber reducirla pero era la todo esto de la ecuación diferencial así que si es muy útil memorizar tela a partir de ahí puedes deducir el periodo y esas cosas y si de verdad te da mucha mucha lata trabajar con funciones trigonométricas y poder reducir el periodo pues también puedes aprender de esta fórmula va y está esta fórmula que está aquí está de acá del periodo y la fórmula de la frecuencia pero bueno si no tienes muchas prisas en un examen y puedes reducirlas de hecho te recomiendo eso más porque vas a aprender pues mucho más del tema y vas a acostumbrarte a trabajar con ecuaciones en fin espero que te haya gustado este vídeo de estos vídeos de de movimiento armónico y nos hasta la próxima