Demostración de la fórmula de decaimiento exponencial (se puede omitir, cálculo involucrado)

la idea de la vida media de la vida media es muy útil vida media cuando nosotros tenemos unidades de tiempo que tienen que ver con múltiplos de la vida media por ejemplo si nosotros tenemos a en el tiempo igual a cero bueno pues en el tiempo igual a cero nosotros tenemos el 100 por ciento de nuestra substancia el 100 por ciento pero nosotros también podemos tener a el tiempo igual a una vida media cuando nosotros tenemos una vida media ha pasado una vida media bueno pues entonces solamente nos queda la mitad de la sustancia el 50% y después de que pase otra vida media después de dos vidas medias bueno pues solamente nos vamos a quedar con la mitad de la mitad es decir el 25% y así podemos seguir y seguir y seguir y bueno es que si por ejemplo yo te digo que han pasado tres vidas medias y digamos que hablamos del carbono-14 que aproximadamente esta cantidad de tiempo serían quince mil años entonces de una manera exacta podemos decir cuánto carbono-14 nos queda es decir qué porcentaje de carbono 14 nos va a quedar de la cantidad inicial y es más el carbono 14 que tenemos todavía no ha decaído al nitrógeno 14 todavía no ahora hasta aquí va bien todo vamos bien sin embargo esto no nos quita la duda de qué es lo que va a pasar si nosotros pensamos en otro tipo de cantidades de tiempo por ejemplo nosotros pensamos que es lo que va a pasar después de medio año o después de media vida media o tal vez después de diez minutos o un millón de años y tal si nosotros queremos una función general que nos diga cuál es la cantidad déjame ponerlo así cuál va a ser nuestra cantidad que nos va a quedar de esta sustancia que está decayendo después de un cierto tiempo esto estaría genial y de hecho es justo lo que vamos a ver en este vídeo y bueno para esto vamos a ocupar un poco del conocimiento de matemáticas realmente no va a ser muy complicado y más si ya tomaste el primer curso de cálculo de hecho esta es una clara aplicación del primer curso de cálculo así que recordemos o vamos a hablar un poco sobre la tasa de cambio o lo podremos pensar como la probabilidad del número de partículas que está cambiando en un tiempo dado es decir en lo que nos queremos fijar es en cómo cambia o cuál es la diferencia entre la cantidad del número de partículas entre el número de partículas entre un cambio muy pero muy pero muy pequeño de tiempo lo que me voy a fijar es cómo cambia esta cantidad con respecto a un cambio en el tiempo y bueno de que va a depender esta expresión que tengo aquí es decir que si aquí tenemos a la función de la cantidad de partículas que tenemos con respecto al tiempo aquí entonces estamos expresando la tasa de cambio y bueno lo primero que quiero que te des cuenta es que este va a tener un valor negativo y bueno es que también podemos decir que este sería hablamos por ejemplo del crecimiento del compuesto si hablamos del crecimiento del compuesto este sería positivo y dependería de que tanto compuesto tenemos bien y para explicar esto vamos a intentar hacerlo un poco más intuitivo imagínate que aquí tengo a 1 por 10 1 por 10 a la 9 átomos de carbono es decir mil millones de átomos de carbono y por acá tengo otra muestra distinta la cual tiene 1 por 10 de las 6 de átomos de carbono 1 por 10 de las 6 de átomos de carbono lo cual es un millón de átomos de carbono y bueno imagínate que nos fijamos en un periodo muy corto de tiempo imagínate un segundo este delta de tm es un periodo infinitesimal es decir muy pero muy pero muy pequeño de tiempo pero imagínate que de temp es un cambio en el tiempo y por lo tanto lo vamos a tomar como delta de t y voy a decir que este delta de t es un segundo y lo que veo es que esta primera muestra tiene un decaimiento de 1000 de mil partículas por segundo voy a decir que esta primera muestra se decae en mil partículas por segundo y bueno date cuenta que esta muestra es mil millones si te das cuenta ahora en ese mismo periodo de tiempo esta muestra que es más pequeña mi segunda muestra solo tiene un millón de partículas por lo tanto tiene una milésima parte de la muestra es la izquierda o dicho de otra manera podemos pensar que entonces nosotros vamos a ver que es la cantidad de partículas que van a decaer va a ser también una milésima parte de la cantidad que tenemos aquí es decir solamente veríamos que una partícula por segundo se decae en esta muestra de aquí y bueno realmente estos datos no son los datos exactos del carbono-14 y bueno aunque no sabemos realmente cuál es esta constante que tenemos aquí lo que sí sabemos es que no importa cuál sea la sustancia de la que estemos hablando esta constante de aquí va a depender de él a sustancia es decir en el caso del carbono-14 va a ser muy distinto al caso del uranio y éste a su vez va a ser distinto de radón y bueno lo que pasa es que aquí vamos a tener cantidades distintas porque depende de esta substancia y de hecho es justo lo que vamos a ver en el siguiente vídeo vamos a calcular esta constante de aquí dependiendo la vida media que nos den pero lo importante de esto es lo que quiero que te des cuenta es que esta tasa de cambio realmente va a depender de la cantidad de partículas que tengamos y de hecho lo podemos ver desde aquí arriba cuando nosotros tenemos una vida media después de esta vida media lo que vamos a hacer es perder la mitad de la cantidad que anteriormente teníamos si por ejemplo hubiéramos empezado aquí con 100 partículas bueno pues aquí en una vida media tendríamos 50 partículas y después de dos vidas medias tendremos 25 partículas y lo que quiero que te des cuenta es que de aquí para acá perdimos 50 partículas y de aquí para acá solamente perdimos 25 partículas porque depende de la cantidad que tenemos aquí claramente se ve que la cantidad que pierdes es proporcional a la cantidad con la que iniciaste la cantidad depende de la cantidad con la que iniciamos en un periodo muy pequeño de tiempo y date cuenta a lo que llegamos llegamos a esta expresión de aquí la cual es una simple o bueno tal vez no para todas las personas sea simple pero es una ecuación diferencial la cual podemos resolver utilizando unos métodos muy sencillos unas técnicas muy sencillas para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales así que déjenme bajar un poco en la pantalla y vamos a trabajar con esta ecuación que tenemos aquí este es un caso de separación de variables y bueno que podemos hacer entonces para resolverla lo primero que se me ocurre es que podemos dividir todo entre n así que vamos a dividir los dos lados de esta ecuación entre n y me quedaría un 1 entre n ok esto que multiplica adn con respecto a de tema voy a poner con este color lo voy a poner con este color ok esto es igual a menos el hambre y ahora qué te parece si multiplicamos todo por de tema que me quedaría bueno pues obtendría 1 entre n esto que multiplica a de n esto va a ser igual a menos lambda por de tema a menos lambda que multiplica a de t de lujo y bueno ahora me puedo tomar la integral de ambos lados de esta ecuación la integral de este lado la integral de este lado y bueno entonces que nos queda si yo me tomo la integral de uno entre en tn bueno pues pensemos en anti derivadas como tenemos un integral indefinida entonces pensemos en la anti derivada de de la función uno entre n y eso es el logaritmo natural de n así que lo voy a poner así aquí tengo él organismo natural ok en esta función sale de esta integral ya esto le voy a sumar y déjenme tomarme este color a esto le voy a sumar una constante de integración la cual le voy a poner una constante 1 ok mientras que del otro lado que me va a quedar de resolver este integral de aquí bueno pues si nosotros pensamos en anti derivadas es muy fácil encontrar la anti derivada de una constante lo único que tenemos que hacer es poner esa constante menos lambda ok y multiplicarla por la variable bajo en la cual estamos integrando la cual en este caso es el tiempo menos lambda por el tiempo ok y bueno como estamos integrando de aquí va a salir otra constante a la cual le voy a poner constante 2 y como tengo una constante aquí y otra constante aquí que no forzosamente es una misma entonces qué te parece si mejor las pasamos de un lado voy a pasar a esta constante restando de este lado y así solamente voy a obtener una constante y ahora sí entonces tenemos la solución de esta ecuación diferencial justo por aquí aquí llegaríamos bueno pues entonces puedo decir que el logaritmo natural el logaritmo natural de n esto va a ser igual a quien a menos lambda te lo voy a poner así a menos ok lambda que multiplica al tiempo ok más una constante 3 la cual obtenemos de reducir estas dos constantes y ahora si nosotros lo que queremos es la función de n que depende de temp bueno pues habrá que despejar de esta ecuación de esta solución de esta ecuación diferencial vamos a despejar a n que te parece si para despejar a n nos tomamos la función inversa del logaritmo natural y bueno la función inversa de logaritmo natural nosotros sabemos que es en la función exponencial así que voy a elevar a la función exponencial cada una de las partes de esta ecuación y me va a quedar elevado a esta potencia ok de este lado mientras que desde otro lado voy a obtener el elevado a esta otra potencia ahora lo padre es que date cuenta que de este lado am el logaritmo natural se cancela con la función exponencial porque son funciones inversas y solamente me queda que en eem n es igual y de este otro lado me queda el elevado a la menos lambda t ok más c3 y lo bueno es que tenemos una propiedad para los exponentes y entonces nos quedaría que n es igual a elevado a la menos la honda teme a la lambda t que multiplican a elevado a la c 3 ok que multiplica a elevado a la c 3 estas dos expresiones son iguales y ahora sí si bajamos un poco más la pantalla ya no tengo espacio por aquí voy a bajar un poco más la pantalla y ahora si lo que quiero que te des cuenta es que esta expresión que tengo aquí es elevado a una constante bueno pues eso realmente otra constante así que no nos complicamos la vida ya está constante que tengo aquí le voy a poner un nombre como esta es una constante arbitraria le voy a poner el nombre de c-4 ds4 y entonces ahora sí me va a quedar que esta función que estaba buscando n que depende del tiempo la cantidad de sustancia que me va a quedar después de un cierto tiempo esto va a ser exactamente igual a esta constante s 4 ok que multiplica a el elevado a la menos la cndh arte y esta es la solución de nuestra ecuación diferencial ahora si nosotros decimos que empezamos con una cierta cantidad es decir que n de 0 con la cantidad con la que empezamos es igual a n sub zero voy a decir que esta es mi cantidad con la que empezamos que te parece si utilizando este dato resolvemos para hacer 4 lo que voy a hacer es sustituir 0 en esta ecuación y me va a quedar que n de 0 ok lo cual sabemos que es n 0 por lo que tenemos aquí en el subíndice 0 esto de igual hace 4 hace cuatro que multiplica ha elevado a la y bueno estamos en el tiempo cero por lo tanto me va a quedar menos lambda por cero y bueno menos lambda por 0 0 y me quedaría elevado a la cero pero el elevado de acero esto es 1 por lo tanto esto es exactamente igual que ese 4 o dicho de otra manera ya sabemos cuánto vale s4c 4 es la cantidad con la que empezamos y utilizando esa información que acabamos de obtener vamos a reescribir esta ecuación que tengo aquí nos va a quedar que n n de t ok es decir la cantidad de partículas que tenemos en un tiempo dado esto es exactamente igual que en el subíndice 0 porque ese 4 es lo mismo que en el subíndice 0 la cantidad con la que empezamos que multiplica a la función exponencial elevado a la menos lambda t y bueno recuerda que aquí tenemos como variable independiente al tiempo lo cual nos va a ayudar a encontrar estas constantes ahora bien esto es justo lo que queríamos pero si tú me preguntas de qué me sirve esto si nosotros pensamos en la vida media que te parece si intentamos encontrar esta ecuación para el carbono porque al final esto sirve para cualquier sustancia que tenga un decaimiento radioactivo si nosotros hubiéramos de pura casualidad un signo más aquí entonces estaríamos hablando de crecimiento de la substancia pero con el menos estamos hablando de decaimiento radiactivo y entonces déjeme bajar un poco más la pantalla porque ahora vamos a trabajar con el carbono 14 nosotros sabemos que el carbono 14 ok el carbono 14 cuyo número atómico es el 6 ok este tiene una vida media tiene una vida media tiene una vida media el día de 5.700 años 5 mil 700 años ok y como utilizamos este dato aquí en esta ecuación y utilizando la vida media bueno es que nosotros podemos decir que si el tiempo es igual a cero si empezamos supongamos que con 100 átomos de carbono 14 entonces cuando nosotros nos tomamos a n de 0 n de 0 estamos hablando del tiempo igual a 0 cuando empezamos bueno cuando empezamos tenemos 100 átomos de carbono 14 y ahora lo que nos dice la vida media es que después n de 5.700 años y ojo estoy cambiando la unidad de tiempo ahora la unidad de tiempo va a ser años para que esto sea consistente hablando en años después de 5.700 años bueno habrá pasado una vida media del carbono 14 es decir llegaríamos a 50 y esto nos quedaría igual con cualquier otra cantidad que nosotros nos toman podrían ser 100 átomos de carbono o 1000 átomos de carbono o x átomos de carbono y entonces acá abajo tendríamos que poner x entre 2 muy bien ahora utilizamos esta información aquí en la función que tenemos arriba estos datos nos van a ayudar a obtener a lambda y bueno lo primero que quiero que te des cuenta es que ya sabemos cuánto vale en el subíndice 0 nos quedaría esto de la siguiente manera si ocupamos esta información de kim ok me va a quedar que en el tema n de t es igual a 100 a 100 porque recuerda que en el subíndice 0 es la cantidad con la que empezamos 100 que multiplica a m elevado a la menos lambda t y vamos a intentar resolver para encontrar el valor de lambda ahora hasta aquí hemos utilizado solamente esta información de esta primera igualdad si nosotros queremos también usar esta vida media entonces que nos va a quedar nosotros sabemos de esta igualdad de abajo que n de 5.700 años bueno pues esto es igual a 50 esto utilizando esta información que tenemos aquí que nos dan en la vida media pero por otra parte podemos sustituir este valor este valor del tiempo aquí en esta ecuación que tenemos arriba y me quedaría 100 que multiplica ok esto elevado a la menos lambda y en esta ocasión el tiempo vale 5 mil 700 años por lo tanto la onda que multiplica a 5.700 años y ahora lo que podemos hacer con esta expresión que tenemos aquí es resolver para obtener el valor de lambda vamos a hacerlo déjame para eso bajar un poco más esta pantalla bajemos la pantalla y ahora sí si nosotros queremos obtener el valor de lambda lo primero que se me ocurre es que podemos dividir todo entre 100 y si dividimos todo entre 100 voy a obtener que un 50 entre 100 es lo mismo que un medio un medio es lo mismo que e elevado a la menos y lo voy a escribir así 5.700 que multiplica a lambda lo único que hice es voltear estos valores y ahora para obtener este valor de lambda voy a sacar el logaritmo natural de ambos lados el logaritmo natural de este lado y el logaritmo natural de este otro lado y bueno aquí tengo el logaritmo natural de un medio esto es igual a el logaritmo natural de la función exponencial elevada a la menos 5.700 lambda bueno pues eso solamente en la parte de arriba menos 5.700 lambda ok y ahora como lo que queremos es lambda voy a decir que el abdi déjame ponerlo así lambda es igual a el logaritmo natural de un medio ok esto a su vez dividido ok entre menos 5.700 y bueno ahora si lo que queremos saber es esto déjenme sacar por aquí mi calculadora y la voy a traer por acá y yo lo que quiero saber es cuánto es el logaritmo natural de un medio pero en medios punto 5 ok esto esto a su vez dividido entre menos menos 5.700 y esto es exactamente igual que am 0.000 121 o dicho de otra manera 1.21 por 10 a la menos 4 déjame escribirlo así el valor de lambda que nosotros estábamos buscando es igual a 1.21 ok por 10 elevado a la menos 4 justo lo que nosotros buscábamos y bueno ya que encontramos el valor de lambda ahora sí podemos escribir la ecuación que nosotros buscábamos para el carbono 14 si nosotros queremos saber qué cantidad de carbono se va a ver en un periodo de tiempo bueno pues esto es lo mismo que la cantidad con la que iniciamos que multiplica a m elevado a la menos lambda es decir a la menos 1 punto 21 ok por 10 elevado a la menos 4 ok todo esto multiplicado por el tiempo esta es la ecuación para encontrar la cantidad de carbono 14 a través del tiempo no solamente pensando en una vida media ya podríamos saber con esta ecuación cuánto carbono 14 va a haber después de medio año o media vida media o tal vez 10 millones de años o tal vez 10 minutos solamente hay que tener cuidado porque en este caso el tiempo está dado en años pero bueno en el siguiente vídeo haremos muchos problemas sobre este mismo tema