¿Qué es la aceleración centrípeta?

¿Un objeto puede acelerar si se está moviendo con rapidez contante? ¡Sí! Al principio, a mucha gente esto les parece contraintuitivo porque se les olvida que los cambios en la dirección del movimiento de un objeto, incluso si el objeto mantiene una rapidez constante, siguen contando como aceleración.

La aceleración es un cambio en la velocidad, ya sea en su magnitud —es decir, en su rapidez— o en su dirección, o en ambas. En el movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia constantemente, así que siempre hay una aceleración asociada, aunque es posible que la rapidez sea constante. Tú puedes experimentar esta aceleración al dar una vuelta en una esquina en el automóvil: si mantienes estable el volante durante la vuelta y vas con una rapidez constante, te estás moviendo en movimiento circular uniforme. Lo que observas es una aceleración hacia los lados porque tú y el automóvil están cambiando de dirección. Mientras más cerrada sea la curva y mayor sea tu rapidez, más perceptible será esta aceleración. En esta sección vamos a examinar la dirección y la magnitud de esa aceleración.

La siguiente figura muestra un objeto que se mueve en una trayectoria circular con una rapidez constante. La dirección de la velocidad instantánea se muestra en dos puntos a lo largo de la trayectoria. La dirección de la aceleración es hacia el centro de rotación, el centro de la trayectoria circular. Esta dirección se muestra en la figura con el diagrama de vectores. A la aceleración de un objeto que se mueve en movimiento circular uniforme, como resultado de una fuerza neta externa, la llamamos aceleración centrípeta $a_c$‍. Centrípeta significa “hacia el centro” o “que busca el centro”.

La dirección de la aceleración centrípeta es hacia el centro del círculo, pero ¿cuál es su magnitud? Observa que el triángulo formado por los vectores de velocidad y el triángulo formado por los radios $r$‍ y $\mathrm{\Delta }s$‍ son semejantes. Los dos triángulos $ABC$‍ y $PQR$‍ son triángulos isósceles con dos lados iguales. Los dos lados iguales del triángulo del vector de velocidad son la rapidez $v_1=v_2=v$‍. Al usar las propiedades de dos triángulos semejantes, obtenemos que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{r}}$‍.

La aceleración es ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$‍, así que primero despejamos $\mathrm{\Delta }v$‍ de la expresión anterior:

Si dividimos ambos lados entre $\mathrm{\Delta }t$‍ obtenemos lo siguiente:

Por último, al observar que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}=a_c$‍ y que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}=v$‍, la rapidez lineal o tangencial, vemos que la magnitud de la aceleración centrípeta es $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$‍.

Esta es la aceleración de un objeto en un círculo de radio $r$‍ con una rapidez $v$‍. Entonces, la aceleración centrípeta es mayor cuando la rapidez es mayor y en curvas más cerradas, o radios más pequeños, como te habrás dado cuenta al conducir un automóvil. Pero es algo sorprendente que $a_c$‍ sea proporcional al cuadrado de la rapidez, lo que implica que, por ejemplo, es cuatro veces más difícil tomar una curva a 100 km/h que a 50 km/h. Una esquina cerrada tiene un radio pequeño, así que $a_c$‍ es mayor para vueltas más cerradas, como probablemente te habrás dado cuenta.

Una centrífuga es un dispositivo rotatorio que se usa para separar muestras de diferentes densidades. Una aceleración centrípeta alta reduce significativamente el tiempo necesario para que ocurra la separación y hace que esta sea posible con muestras pequeñas. Las centrífugas se usan en una variedad de aplicaciones en la ciencia y en la medicina, incluyendo la separación de suspensiones de una sola célula como bacterias, virus y células de sangre de un medio líquido, y la separación de macromoléculas —tales como ADN y proteínas— de una solución.

A menudo, las centrífugas se clasifican en términos de su aceleración centrípeta con respecto a la aceleración debida a la gravedad, $g$‍. Una aceleración centrípeta máxima de cientos de miles de veces la de $g$‍ es posible en un vacío. Las centrífugas humanas, centrífugas extremadamente grandes, se han usado para probar la tolerancia que tienen los astronautas a los efectos de aceleraciones mayores que la de la gravedad de la Tierra.

¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de un automóvil que sigue una trayectoria curva (ve la siguiente figura), con un radio de 500 m y una rapidez de 25 m/s (aproximadamente 90 km/h)? Compara su aceleración con la debida a la gravedad para este curva bastante suave que se toma a una velocidad de carretera.

Calcula la aceleración centrípeta de un punto que se encuentra a 7.5 cm del eje de una ultracentrífuga que gira a $7.5\times {10}^4$‍ revoluciones por minuto.