La velocidad promedio cuando la aceleración es constante

el objetivo de este vídeo es explorar algunos conceptos o fórmulas que puedan encontrar típicamente en las clases de física tradicionales pero lo más importante es que quiero que vean que en realidad son ideas del sentido común vamos a comenzar con un ejemplo sencillo y para efectos de este vídeo vamos a acordar que si se ve una cantidad positiva esto implica que vamos a estar dirigiéndonos hacia la derecha hacia la derecha de igual manera si tenemos una cantidad negativa entonces implica que vamos hacia la izquierda esto es para simplificar un poco nuestra notación de manera que no tenga que escribir explícitamente la dirección de un vector ya que directamente si yo veo una cantidad positiva implica que la dirección es la derecha y si la cantidad es negativa la dirección irá a la izquierda de ese vector imaginemos que tengo una velocidad inicial un vector velocidad inicial que es igual a 5 metros por segundo esta es una cantidad positiva por lo tanto su dirección es a la derecha son 5 metros por segundo a la derecha y además tengo una aceleración constante que es vector y este va a ser igual a 2 metros por segundo al cuadrado nuevamente tenemos una cantidad positiva por lo tanto de la dirección de este vector va a ser a la derecha la aceleración va a la derecha también vamos a establecer que esta velocidad y aceleración constante van a durar unos 4 segundos por lo que el cambio en el tiempo van a ser 4 segundos lo que yo quiero saber es qué tan lejos voy a llegar y cuál será mi velocidad después de estos cuatro segundos vamos a encontrar primero lo que es la velocidad final y vamos a hacer un pequeño diagrama acá tengo este eje que es el de la velocidad y este otro eje horizontal que es el del tiempo lo que me indica el problema es que mi velocidad inicial es de 5 metros por segundo aquí está el origen 0 y vamos a decir que aquí está mi velocidad inicial mi vector velocidad inicial de 5 metros por segundo que hacer cantidad positiva va a ser a la derecha y también tengo que después de 4 segundos 1 2 3 4 segundos aquí los etiquetó todos los segundos pues este va a ser mi cambio en el tiempo y aquí después de estos cuatro segundos quiero encontrar mi velocidad final iniciamos en cinco metros por segundo cuando pasa el primer segundo yo sé que tengo una aceleración constante de dos metros por segundo por segundo de manera que mi velocidad pasa de cinco a siete metros por segundo durante el primer segundo así que mi punto en la gráfica más o menos queda acá si yo tomo esto y sé que mi aceleración es constante pues voy a tener una línea recta que describa el comportamiento de esta aceleración bueno quizás no me salió muy recta pero esa es la idea de manera que lo que yo quiero encontrar cuando hayan pasado esos cuatro segundos teniendo esta aceleración constante quiero encontrar cuál es la velocidad mi velocidad final vamos a resolver esto usando variables y números concretos bueno aquí comienzo desde esta parte de mi velocidad inicial y sé que cada segundo mi velocidad se va a incrementar dos metros por segundo entonces qué es lo que puedo hacer puede indicar que mi velocidad inicial vector más el cambio en el tiempo estos cuatro segundos que pasaron aquí delta t si yo multiplico está del dt por lo que es mi aceleración lo multiplicó por mi vector aceleración que es constante esto me va a dar como resultado lo que es mi velocidad final si yo estoy en este punto de la gráfica y multiplicó la duración del tiempo por la pendiente de esta línea entonces voy a obtener mi velocidad final poniendo esto en números tenemos que mi velocidad inicial es de 5 metros por segundo más el cambio en el tiempo es de 4 segundos por la aceleración constante esta aceleración es de 2 metros por segundo al cuadrado cáncer los segundos aquí y aquí y me va a quedar que todo esto es igual a 5 metros por segundo más 4 por 28 metros por segundo hago esta suma y me queda que es igual a 13 metros por segundo esta es mi velocidad final como es una cantidad positiva mi vector va a ir hacia la derecha es una pausa aquí y pensemos al respecto espero que esto sea algo intuitivo para ustedes iniciamos con una velocidad de 5 metros por segundo cada segundo esta velocidad aumenta 2 metros por segundo así que el primer segundo quedamos con 7 metros por segundo en el segundo número 2 nuestra velocidad va a ser 7 + 29 metros por segundo al tercer segundo nuestra velocidad va a llegar a 92 11 metros por segundo aunque bueno aquí la gráfica no está muy precisa que digamos aquí los puntos tienen el mismo espacio entre sí así que aquí serían 11 metros por segundo y en el cuarto segundo alcanzamos nuestros 13 metros por segundo vemos que esta fórmula tiene sentido nuestro resultado es de 13 metros por segundo y así vemos que esta fórmula es correcta de hecho ustedes se pueden encontrar esta fórmula en física básica es una de las fórmulas más conocidas la velocidad final es igual a la velocidad inicial más el cambio en el tiempo por la aceleración en el caso de que la aceleración sea constante entonces pueden ver que esto no es algo inventado esto viene de un razonamiento que tiene bastante sentido común y así es como obtenemos esta fórmula otra cosa que quiero saber es la distancia que he recorrido durante este tiempo con esta aceleración constante como calculo esto recordando el vídeo anterior vimos que la distancia recorrida es el área bajo esta curva voy a remarcar el área calcular que viene siendo esta forma un poco extraña el área dentro de esta figura va a ser la magnitud de la distancia recorrida durante este tiempo cómo voy a calcular esta área vamos a usar nuestros conocimientos de geometría básica vamos a descomponer esto en dos figuras un rectángulo y un triángulo calcular el área de estas figuras es muy sencillo tendría el área de un rectángulo que es muy sencilla de calcular y el área de un triángulo que también es bastante sencillo el área el rectángulo viene siendo qué tan lejos llegamos sin acelerar esto es sin acelerar que tanto hubiéramos recorrido si nos hubiéramos mantenido con una velocidad constante de 5 metros por segundo durante 4 segundos y esta otra área de aquí del triángulo es que tanta distancia extra recorrimos con esta aceleración constante con la aceleración así que vamos a hacer este cálculo tenemos que al menos en esta parte el área del rectángulo va a ser nuestra base 4 segundos por la altura que es de 5 metros por segundo así que 5 por 4 20 los segundos se anulan y me queda que son 20 metros lo que hubiera recorrido sin acelerar y ahora como vamos a calcular la parte de la aceleración pues con el área del triángulo bueno tenemos que aquí está mi velocidad final que es de 13 metros por segundo y esta parte viene siendo mi velocidad inicial no olvidemos que siguen siendo vectores y como son valores positivos la dirección es hacia la derecha mi velocidad inicial fue de 5 metros sobre segundo así que esta distancia esta distancia de acá es la diferencia entre estas dos cantidades que viene siendo 13 menos 5 igual a 8 metros por segundo es lo que mide esta parte de acá la altura del triángulo que me interesa y esto lo multiplicó por la base que cuatro segundos y lo divido entre dos que es la fórmula del área del triángulo entonces como me queda mi área del triángulo es igual a la mitad de mi base que son 4 segundos por la altura que son ocho metros por segundo estos segundos se van 8 x 4 32 32 entre dos es 16 me queda que es de 16 metros y ahora sí tengo estas dos áreas por lo que voy a sumar las para encontrar mi desplazamiento total mi desplazamiento que es un vector es de 20 metros más 16 metros usemos los colores adecuados y esto va a ser igual a 36 metros y ahora vamos a realizar estos mismos cálculos pero usando variables lo que nos va a llevar a otra fórmula muy conocida entonces quedamos que el área del rectángulo es el cambio en el tiempo multiplicado por la altura que en este caso es mi vector velocidad inicial esta parte es el área del rectángulo por eso lo subrayo en verde como el rectángulo y a esto le voy a sumar el área del triángulo que es la mitad de la base que es la diferencia en el tiempo por la altura del triángulo que es la diferencia entre la velocidad final y la velocidad inicial esto por la velocidad final vector menos el vector de velocidad inicial esta parte de acá corresponde al área del triángulo y todo esto me da el desplazamiento realizar vamos a simplificar esto vamos a factorizar el desplazamiento en el tiempo y esto va a multiplicar a mi vector velocidad inicial más la mitad que va a multiplicar a mi vector velocidad final - este un medio que multiplica a este menos velocidad inicial ahora de todo esto lo simplificó esta velocidad inicial la restó con este menos un medio de velocidad inicial y esto me va a quedar como el cambio en el tiempo que multiplica a la mitad de mi vector velocidad inicial más la mitad de la velocidad final vemos que podemos factorizar este un medio de aquí ya que es un término común así que me queda esto el cambio en el tiempo por un medio de la velocidad inicial más la velocidad final y esto que viene siendo pues esto realmente es el promedio de la velocidad final y la velocidad inicial esto de aquí lo podemos definir como la velocidad promedio velocidad promedio hay que tener mucho cuidado porque solo podemos usar esto como velocidad promedio cuando tenemos una aceleración constante si la aceleración fuera varía y en lugar de tener una línea como aceleración tuviéramos una curva y entonces ya no podríamos usar esta fórmula y finalmente tenemos la fórmula de la distancia que es igual al cambio del tiempo por la velocidad promedio que quedamos que es la mitad de la suma de la velocidad inicial más la velocidad final esta es una fórmula muy conocida para el cálculo de la distancia o desplazamiento y para que vean que esto viene de un razonamiento lógico del sentido común para que no tengan necesariamente que memorizar ahora si calculemos cuál es la distancia recorrida en ese caso como tenemos una aceleración constante podemos encontrar la velocidad promedio la velocidad promedio es igual a la mitad del vector velocidad final o la velocidad inicial el orden no importa que es 13 más la velocidad inicial que es de 5 metros por segundo esto es igual a 18 entre 2 que es igual a 9 metros por segundo este es mi velocidad promedio que vendría estando más o menos por acá en la gráfica recordemos que hacer una cantidad positiva la dirección de este vector va a ser hacia la derecha y al usarla en esta fórmula que acabamos de encontrar de deducir la multiplicó por la diferencia en el tiempo que fueron 4 segundos de manera que me quedan 9 por 4 36 36 metros los segundos se cancelaron y así llegamos al mismo resultado del primer método que usamos aquí