Ejemplo de cómo encontrar los valores propios y espacios propios

en el vídeo anterior queríamos encontrar los valores propios de la matriz a que era la matriz 1 2 4 3 y lo que hicimos fue utilizar el hecho de que en general lambda es un valor propio un valor propio de una matriz si sólo sigue si y sólo si si sólo sigue el determinante de la matriz lambda por la identidad menos a es igual a cero utilizando esto vimos que si la matriz a era esta matriz de aquí los valores propios tenían que ser o eran 5 y menos 1 estos son los únicos valores propios que tiene esta matriz a ahora bien todo esto fue con la suposición suponiendo de que los vectores propios suponiendo que los vectores propios son distintos de cero en los vectores propios son no lo sé muy bien ahora esto solo es parte del problema porque además de encontrar los valores propios queremos encontrar los vectores propios veamos en general cómo podemos hacer eso si tenemos una matriz y entonces encontrar los vectores propios es encontrar los vectores b tales que a por b sea igual a landa por d con distinto del vector ser esto lo puede escribir como vector 0 debe ser igual a lambda por b menos a por b ahora bien si yo sustituye por la identidad por b es decir si escribo esto de la forma lambda por la identidad por b menos a por b entonces tengo producto de matrices por un vector menos una matriz por un vector y noten que como tengo la identidad por el vector b eso sencillamente es el vector de estas dos cosas son iguales así que esto es legítimo y lo que puedo hacer ahora es factorizar el vector b y escribir esto como el producto lambda por la identidad menos a todo eso por el vector b todo esto de aquí es una matriz y esto debe ser igual al vector set esto lo puedo decir del siguiente modo para cualquier valor propio para cualquier cualquier valor propio lambda voy a definir el espacio propio en lambda el ámbar es el espacio propio espacio propio que corresponde al valor propio lambda y lo que es es el conjunto de vectores que satisfacen esta ecuación en otras palabras el espacio propio son todos los vectores propios que corresponden al valor propio lambda y entonces por definición como quiero que satisfagan esta ecuación el espacio propio que corresponde al valor lambda es igual al espacio nulo oa la nulidad de la matriz lambda por la identidad menos vamos a hacer el ejemplo de esta matriz vamos a encontrar los vectores propios de esta matriz a la matriz a tiene valores propios 5 y menos 1 entonces vamos a comenzar con lambda igual a 5 por definición el espacio propio correspondiente al valor propio 5 es igual al espacio nulo de la matriz cinco veces la identidad 5 por 100 1 - la matriz a la matriz es 124 3 así que eso es lo mismo que el espacio nulo de la matriz 5 por 15 menos 14 45 por 0 0 - 2 - 2 5 por 0 0 - 4 - 4 y 5 x 15 32 positivos así que estoy buscando el espacio nulo anualidad de esta matriz y el espacio nulo de una matriz es igual al espacio nulo de la matriz reducida en su forma escalonada por renglones así que puedo cambiar esta matriz por la matriz por la matriz vamos a cambiar el segundo renglón por el segundo más el primero y el primero se queda igual así que esta es la matriz 4 - 2 - 44 es 02 más menos 2 es cero de nuevo y ahora solo voy a dividir la primera la primera fila entre 4 y esto lo puede escribir entonces como uno menos un medio 0 y estoy buscando el espacio nulo la nulidad de esta matriz de aquí bien cuánto vale esa nulidad pues estoy buscando vectores b tales que la matriz uno menos un medio 0 0 por el vector b sea igual al vector 0 que simplemente es el vector 0 0 pues vamos a escribir esto vamos a escribirlo como sigue puedo cambiar al vector b por un vector variable con una serie de variables qué van a hacer v 1 de dos quiero encontrar las entradas del vector b y esto tiene que ser igual a 0 0 pues si hago este producto de vectores obtengo que uno por uno más o menos un medio por b 2 es decir menos un medio de 2 esto debe ser igual a 0 la segunda entrada simplemente me dirá que 0 es igual a cero así que no me sirven nada de aquí puedo concluir que b1 es igual a un medio de b 2 así que si pongo al b2 igual a t puede escribir que el conjunto de vectores el espacio propio correspondiente al vall que en un valor propio 5 es igual a todos los vectores de la forma de uno de dos iguales un medio de té donde esté es un número real o dicho de otro modo es 5 en 5 es igual al sub espacio vectorial generado por el vector un medio 1 pueden checar que estos dos espacios son el mismo así que este es el espacio propio correspondiente al valor propio 5 y que hay ahora de el valor propio lambda igual a menos 1 pues en este caso el espacio propio que corresponde al valor propio menos 1 es el espacio nulo la nulidad de la matriz menos 1 por la identidad es decir menos identidad menos 100 menos 1 - la matriz a que era la matriz 12 4 3 bien esto es lo mismo que el espacio nulo de la matriz menos uno menos 13 - 20 menos 2 es menos 20 menos 46 menos 4 y menos uno menos 3 es menos 4 de nuevo puede llevar esta matriz a su forma escalonada reducida así que esta matriz se convierte en vamos a dejar el primer renglón igual menos 2 - 2 y cambiar el segundo renglón por el segundo menos dos veces el primero entonces tengo menos cuatro menos menos dos por 2 menos 4 4 que es 0 y este segundo renglón se queda igual perdón aquí de nuevo nos va a hacer eso es a lo que me refería entonces estoy buscando el espacio nulo de esta matriz y ahora sólo por comodidad vamos a dividir este primer renglón entre menos 2 de modo que obtengo 1100 muy bien y quién es ese espacio nulo pues de nueva cuenta esto da cuenta lo que tengo que hacer es encontrar los valores de b1 y b2 tales que este producto viene el vector cero y eso como lo hago pues simplemente toma el producto y concluyó que b1 b2 es igual a 0 eso sería el producto de este renglón por este vector y de nuevo el segundo renglón por este vector me da simplemente 0 igual a cero así que de aquí concluyó v 1 es igual a menos de 2 y de nueva cuenta si hago de 2 si bien 2 es igual a t entonces entonces puede escribir al espacio propio correspondiente a -1 como el conjunto de vectores b1 b2 tales que v 1 es igual a menos de 2 pero perdón 3 - t y dedos este así que simplemente este donde te está en los números reales o de nuevo esto es lo mismo esto es lo mismo el espacio generado por un espacio vectorial generado por el vector menos 1 1 bien vamos a graficar esto para ver cómo se ve déjenme pongo ahí mi eje horizontal y acá mi eje vertical están un poco fuera el centro pero servirán como se ve el espacio propio correspondiente al valor 5 pues es el sub espacio generado por el vector un medio 1 así que si si esto es 1 esto es 1 entonces el vector un medio 1 se ve más o menos algo así algo así y el sub espacio que genera son todos los múltiplos reales de este vector es precisamente este conjunto acá arriba y todos esos vectores están sobre esta línea o están apuntando a puntos en esta línea así que en realidad a este valor propio le corresponden una infinidad de vectores propios cualquier elemento cualquier vector que apunte a puntos en esta línea es un vector propio que tiene por valor propio a 5 en otras palabras cualquier vector que esté sobre esta línea si le aplicó la transformación representada por la matriz la matriz de acá arriba por esta matriz entonces lo que me da es 5 veces el vector original ejemplo de este vector lo multiplicó por 5 y digamos una edad es el vector de ahí así funciona la transformación en estos vectores ahora que hay del espacio propio correspondiente aa menos uno pues ese es el generado por el vector menos 1 1 con el vector menos 11 se ve algo así así que su espacio propio este espacio propio de más bien el espacio propio del valor menos uno es la recta generada por ese vector todos los esos vectores todos absolutamente todos los vectores que están ahí o los vectores que apuntan a esos puntos sobre esa línea son vectores propios con valor propio menos 1 dando igual a menos 1 así que en esta línea lo que hace la transformación es invierte la dirección este vector amarillo este vector la enviaría a el vector con la misma longitud pero dirección contraria perdón sentido contrario ok así que ahora ya sé que es un valor propio un vector propio un espacio propio y quizás lo más importante es que ya sé cómo encontrarlos y esto me da una buena idea de cómo actúa la transformación recuerden algo muy importante es que a cualquier valor propio cualquier valor propio le corresponden una infinidad de vectores propias generan todo un sub espacio vectorial así que eso es algo muy importante y muy interesante