Demostración de la fórmula para encontrar valores propios

tengo una transformación lineal de que va de rn en rn y comienza una transformación lineal la puedo representar mediante una matriz de modo que te dé x sea lo mismo que la matriz a por el vector x y en el vídeo pasado vimos que era interesante encontrar los vectores que no cambian de dirección con la transformación t es decir que si tomo la transformación t del vector b que es lo mismo que multiplicar ave por la matriz a entonces simplemente el resultado es de la forma lambda por b es decir no cambian de dirección quizás cambien solo de escala y veíamos que estos vectores son interesantes porque me permiten encontrar bases interesantes bases en las que sea fácil calcular y por eso llamamos a estos vectores los vectores propios de la transformación t y a este factor lambda lo llamamos el valor propio correspondiente a este vector muy bien bien y ya tenemos una idea de por qué estos vectores resultan ser interesantes pero no tenemos un modo de encontrarlos digamos actualmente si me das un vector yo puedo verificar si es o no un vector propio pero no tengo un modo sistemático de encontrarlos así que bueno vamos a hacer esto bien entonces vamos a buscar soluciones a la ecuación a x b es igual a lambda por b lambda por b ahora bien una solución evidente es la solución 0 b es igual al vector 0 y definitivamente es una solución pero normalmente regularmente el vector 0 no es considerado un vector propio una de las razones es que el vector 0 no nos sirve para formar una base otra razón es porque no está claro cuál sea su valor propio correspondiente puesto que no importa qué valor le demos a lambda la ecuación siempre se satisfacería así que vamos a restringir nos a las soluciones que no son cero que no sean el vector cero y vamos a ver si podemos jugar un poco con esto y encontrar una forma para encontrar al menos los valores propios lo que voy a hacer es restar a x b de ambos lados de la ecuación entonces 0 es igual a lambda b - a x b el vector b rector lo puedo describir como b por la matriz identidad de gm por m por el vector b recuerden que b está en r m así que puedo sustituir esto en la ecuación y déjenme los cambios de lado y escribir esto como lambda por la matriz identidad la matriz identidad dni por n por el vector b menos a por el vector b y esto debe ser igual al vector 0 ahora bien tengo una matriz por b menos otra matriz por b como el producto de matrices por vectores es distributivo puedo escribir esto este modo lambda por la matriz identidad menos la matriz a todo eso por el vector b y eso debe darme el vector 0 porque esto de aquí es alguna matriz no sé cuál sea pero es alguna matriz de hecho esta es la razón por la cual cambiaba por la identidad por b para poder escribir esto como un producto de matrices y poderlo factorizar factorizar la ve más bien y escribirlo de este modo así que tengo este producto de alguna matriz por b es igual al vector 0 ahora sí estoy suponiendo que ves distinto de cero si ves distinto cero qué es lo que sucede pues bien ve ve pertenece al espacio nulo de esta matriz al espacio nulo guardando unidad a la nulidad o el espacio nulo de la matriz lambda por la matriz identidad menos la matriz a igual esto se ve algo complicado y quizás un poco enredado pero se simplifica si pensamos que el lambda por la identidad menos a es en realidad una matriz b así que la ecuación anterior se convierte en b por b es igual a 0 depor b es igual a 0 ahora bien recordemos que el espacio nulo de la matriz b está definido como los vectores x que están nrm tales que ve por el vector x me da 0 en el vector 0 pues entonces me satisface esta ecuación estoy suponiendo que satisface esta ecuación y todo esto salió de suponer que era un vector propio de la matriz a así que tengo un miembro del espacio nulo que no es el vector cero el vector cero siempre está en el espacio nulo pero en este caso de no es el tercero así que el espacio nulo de la matriz lambda por la identidad menos aa su espacio nulo espacio nulo de esto es no trivial es no trivial esta condición sólo significa que el vector 0 no es el único miembro del espacio nulo y quizás ya lo sepan o quizás lo recuerden de algunos vídeos anteriores de álgebra lineal bien pues resulta que esta condición nos dice muchísimo acerca de cómo son las columnas de una matriz de resulta que las columnas de una matriz de son linealmente independientes si y sólo si el espacio nulo de la matriz de la nulidad de la matriz de es trivial es decir solo contiene al vector cero y por el contrario si tenemos una matriz cuyo espacio nulo no sólo contiene al vector cero entonces debe tener columnas linealmente dependientes bien pues pasemos ahora traduzcamos lo que acabamos de hacer a la estructura de la matriz lambda por la identidad menos a recuerden que todo eso es en realidad una sola matriz así que la matriz lambda por la identidad menos debe tener columna linealmente dependientes ahora bien esta condición es completamente equivalente a que la matriz no sea invertirle y esto pasa si sólo así el determinante la matriz es 0 pero como todo esto es equivalente puedo decir que si el determinante es 0 entonces la matriz no es invertible entonces sus columnas son linealmente dependientes y por lo tanto existe un elemento no trivial en el espacio nulo de esa matriz y esto significa que entonces existe un escalar lambda y un vector b tales que la ecuación a por b es igual a lambda b tiene solución así que si existe una solución de que no sea 0 que satisfaga esa ecuación entonces esta matriz debe tener determinante 0 y también el otro sentido es cierto si el determinante es 0 entonces debe existir un número escalar lambda y un vector b distinto es 0 tales que a por b sea igual a lambda por b bien pues déjenme escribir todo esto esto realmente es lo más importante que estamos viendo en este vídeo así que a por b es igual a lambda b para algún vector de distinto del vector 0 para ver distinto de 0 sí y sólo sí y solo sin el determinante determinante de la matriz lambda por la identidad menos es igual a cero recuerden que el determinante de una matriz siempre es un número escalar así que no vayan a confundirlo con el vector cero y quizás estén preguntando bueno ya esto de qué me sirve esto como me ayuda a encontrar los valores o los vectores propios pues resulta que el hecho de que el determinante de lambda por la identidad menos a tenga que ser igual a cero si yo sustituyó la matriz a por la matriz que representa mi transformación t entonces el determinante me da una ecuación con incógnita lambda que puedo resolver y de este modo obtener los valores propios