Determinar la razón de cambio promedio de polinomios

nos preguntan cuál es la tasa de cambio promedio de la función f que es esta función en el intervalo menos 23 es un intervalo cerrado porque está entre estos paréntesis cuadrados en lugar de paréntesis regulares por lo que incluye ambos límites pausa en el vídeo y traten de resolverlo por su cuenta vamos a resolverlo juntos hay un par de formas de conceptualizar la tasa de cambio promedio de una función una forma de pensar en ello es el cambio del valor de la función dividido entre el cambio en x es decir el cambio en el valor de la función por x en promedio o sea el cambio en el valor de la función dividido entre el cambio en x y xi decimos que es igual a fx también podemos expresarlo como el cambio en g entre el cambio en x en promedio cuando cambia la función de acuerdo al cambio unitario de x en promedio podemos resolver esto con una tabla o tratar de conceptualizar visualmente primero vamos a resolverlo con la tabla y después conectaremos los puntos visualmente aquí tenemos equis y acá tenemos de igual a fx cuando x es igual a menos 2 a que será igual a que es igual efe de menos 2 que es igual a efe de menos 2 que es igual a menos 8 que es menos 2 a la tercera potencia menos 4 por 2 negativo por lo que es menos 8 negativo es decir más 8 lo que es igual a 0 y cuando x es igual a 3 evaluamos el otro extremo del intervalo ahora ya es igual a efe de 3 que es igual a 27 que es 3 a la tercera potencia menos 4 por 3 es menos 12 todo esto es igual a 15 cuál es el cambio entre el cambio en x en este intervalo la aie pasó de 0 a 15 por lo que hay un incremento positivo de 15 en g y cuál fue el cambio en x paso de menos 2 a 3 positivos por lo el cambio en x 5 positivo el cambio en x es más 5 así que la tasa de cambio promedio de g con respecto a x o la tasa de cambio promedio de la función con respecto a x en este intervalo es igual a 3 si quieren pensar en esto visualmente voy a tratar de dibujarlo este es el eje x este es el eje y y la función se comporta más o menos así cuando x es igual a menos 2 f x es 0 luego sube y después baja y luego hace esto también de este otro lado el intervalo de interés va desde menos 2 a 3 como le estoy indicando acá esto es x igual a menos 2 a x igual a 3 y lo que queremos hacer es que del lado izquierdo del intervalo la función es igual a cero como vemos en este punto que estoy dibujando en otro color y en el lado derecho del intervalo f de 3 es igual a 15 que está por acá arriba permítanme conectar un poco mejor la función así que cuando pensamos en la tasa de cambio promedio en este intervalo simplemente nos referimos a la pendiente de la recta que conecta estos dos puntos la recta que conecta estos dos puntos se ve más o menos así y estamos calculando el cambio en y qué es esto y vemos que el valor de la función incrementa en 15 dividido entre el cambio en x qué es esto de acá y cómo pasamos de menos 2 hasta 3 el cambio en x es de 5 esto es lo que hacemos cuando pensamos en la tasa de cambio promedio