Signo de la razón de cambio promedio de polinomios

aquí nos dan una función htx y nos preguntan cuál es el intervalo de h que tiene una tasa de cambio promedio positiva así que como siempre pagos el vídeo y primero inténtalo antes de que lo hagamos juntos ok vamos a trabajarlos juntos para empezar recordemos qué significa tener una tasa de cambio promedio puedes verlo como el cambio en el valor de tu función con respecto a un cambio dado en la variable de entrada un cambio en x y podemos ver esto como primero si quieres saber nuestro denominador este será el intervalo que elegimos que es la diferencia de x final menos equis inicial y en el numerador tendremos el valor de nuestra función en la equis final menos el valor de nuestra función en la equis inicial ahora nos piden que calculemos esto para todos los intervalos para encontrar en donde es esta tasa positiva y si observas aquí necesitamos que la equis final sea mayor que la equis inicial para que tengas una tasa de cambio promedio positiva es decir necesitamos encontrar una hd x final que sea mayor que hdx inicial si el valor de la función en el punto final es mayor que el valor de la función en el punto inicial entonces tendremos una tasa de cambio promedio positiva así que veamos si esto ocurre en algunos de estos incisos para este punto inicial tengo que h de cero bueno un 70 será igual a cero tengo un octavo por 0 - 0 ok y hd 2 es lo mismo que un octavo por 2 elevado al cubo que eso es 8 entonces un octavo por 8 es uno menos 4 es lo mismo que menos 3 y observa esta vez no tenemos la situación donde h de tu punto final es mayor que h de tu punto inicial de hecho tenemos una tasa de cambio promedio negativa así que cancelar este inciso para ayudarnos a visualizar este ejemplo fui a des mosses y atrás de la gráfica de esta función así que la voy a traer y puedes ver que tenemos una tasa de cambio promedio negativa de x igual a 0 a x igualados en x igual a 0 estamos en este punto de aquí en x igualados estamos aquí y observa esta función podemos ver que en x igualados el valor que tiene la función es menor o también podemos pensar a la tasa de cambio promedio como la pendiente de la recta que conecta estos dos puntos y puedes ver que tenemos una pendiente negativa es decir una tasa de cambio promedio negativa entre estos dos puntos bien ahora que hay del inciso b bueno ya calculamos que h de cero es igual a cero y cuál es el valor que tenemos naché de 8 bueno un octavo por 8 elevado al cubo se elevó 8 elevado al cubo y después lo divido entre 8 eso es lo mismo que 8 al cuadrado que es 64 menos 64 entonces todo esto me dará 0 por lo tanto aquí tengo una tasa de cambio promedio de cero porque el numerador será igual a cero así que en definitiva puedo cancelar este inciso y podemos verlo justo aquí cuando x es igual a cero nuestra función está aquí cuando x es igual a 8 nuestra función está por acá y puedes ver que la pendiente de la recta que une a esos dos puntos es 0 por lo tanto tienes una tasa de cambio promedio de 0 entre estos dos puntos ahora que hay del inciso c bueno h de 6 es igual a bueno tengo un octavo por 6 elevado al cubo veamos 36 por 6 es 180 más 36 que es 216 y esto menos 36 ahora un octavo por 216 esto es lo mismo que bueno 216 6 por 6 por 6 es decir tengo 6 por 36 y bueno seis octavos de 36 eso se simplifica en tres cuartos de 36 entonces tengo tres cuartos de 36 menos 36 lo cual es menos 9 si quieres puedes sacar la calculadora o puedes ser una división larga pero espero que hayas entendido estas cuentas que hice fue sólo un poco de aritmética entonces hd 6 es igual a menos 9 y hd 8 ya vimos que es igual a cero así que el valor que tiene mi función en este punto final es mayor que el valor que tiene mi función en el punto inicial por lo tanto en este intervalo tenemos una tasa de cambio promedio positiva así que seleccionaré esta opción también podemos verlo en x igual a 6 nuestra función toma el valor de menos 9 justo aquí y cuando x es igual a 8 nuestra función por lo tanto puedes observar que la recta que conecta estos dos puntos en definitiva tiene una pendiente positiva tenemos una tasa de cambio promedio positiva bueno si estuvieras haciendo esto por tu cuenta y hambre has terminado pero debemos revisar también el último inciso si comparamos h de 0 que sabemos que 0 con h de 6 que sabemos que es menos 9 puedes ver que tenemos una tasa de cambio promedio negativa porque tenemos un valor menor en el punto final de nuestro intervalo así que cancelaría también esta opción y puedes verlo por aquí si observamos los puntos que se forman en x igual a 0 tienen que es igual a 6 podemos ver que la pendiente de la recta que une esos dos puntos es negativa por lo tanto tenemos una tasa de cambio promedio negativa justo en ese intervalo