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Curso: Estadística avanzada (AP Statistics) > Unidad 9

Lección 3: Distribuciones muestrales para las diferencias en proporciones muestrales

Diferencias de proporciones muestrales: ejemplos de probabilidad

Práctica usar la forma, el centro (media) y la variabilidad (desviación estándar) para calcular las probabilidades de varios resultados cuando estamos tratando con distribuciones muestrales para la diferencia de proporciones muestrales.

Introducción y revisión

En este artículo, vamos a practicar aplicar lo que hemos aprendido acerca de las distribuciones muestrales para las diferencias en las proporciones muestrales para calcular las probabilidades de varios resultados muestrales.

Ve más abajo si quieres ir directamente a algunos ejemplos.

Esta es una revisión de cómo podemos pensar acerca de la forma, el centro y la variabilidad en la distribución muestral de la diferencia entre dos proporciones

{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}

Forma

La forma de una distribución muestral de

{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}

depende de si ambas muestras pasan la condición de normalidad o del tamaño de la muestra.

Si esperamos al menos $10$ ‍ éxitos y al menos $10$ ‍ fracasos en ambas muestras, entonces la distribución muestral de ${\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}$ ‍ será aproximadamente normal.
Si uno o más de estos recuentos son menores que $10$ ‍, entonces la distribución muestral no será aproximadamente normal.

Centro

La diferencia media es la diferencia entre las proporciones de la población:

μ_{{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}} = p_{1} - p_{2}

Variabilidad

La desviación estándar de la diferencia es:

σ_{{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}} = \sqrt{\frac{p_{1} (1 - p_{1})}{n_{1}} + \frac{p_{2} (1 - p_{2})}{n_{2}}}

(donde

n_{1}

n_{2}

son los tamaños de cada muestra).

Esta fórmula para la desviación estándar es exactamente correcta siempre y cuando tengamos:

Observaciones independientes entre las dos muestras.
Observaciones independientes dentro cada muestra*.

*Si estamos muestreando sin reemplazo, esta fórmula en realidad va a sobreestimar la desviación estándar, pero es extremadamente cercana al valor correcto siempre y cuando cada muestra sea menos del

10 %

de su población.

Vamos a intentar aplicar estas ideas a algunos ejemplos y a ver si podemos utilizarlas para calcular algunas probabilidades.

Ejemplo 1

Yuki es una candidata para ocupar un cargo de elección y quiere saber cuánto apoyo tiene en dos distritos diferentes. Yuki no lo sabe, pero el

45 %

de los

8,000

votantes en el Distrito A la apoyan, mientras que el

40 %

de los

6,500

votantes en el Distrito B la apoyan.

Yuki contrata una empresa de encuestas para tomar muestras aleatorias de

100

votantes de cada distrito. Después, la empresa va a ver la diferencia entre las proporciones de los votantes que la apoyan en cada muestra

({\hat{p}}_{A} - {\hat{p}}_{B})

Pregunta 1.1

¿Cuáles son la media y la desviación estándar de la distribución muestral de ${\hat{p}}_{A} - {\hat{p}}_{B}$ ‍? '
Redondea a tres decimales.

Ejemplo 2

Una empresa tiene dos oficinas, una en Mumbai y la otra en Delhi.

Cada oficina tiene alrededor de $600$ ‍ empleados en total.
$85 %$ ‍ de los empleados en la oficina de Mumbai tienen menos de $40$ ‍ años de edad.
$81 %$ ‍ de los empleados en la oficina de Delhi tienen menos de $40$ ‍ años de edad.

Los directivos de la empresa planean tomar muestras aleatorias separadas de

50

empleados de cada oficina. Van a ver la diferencia entre las proporciones de empleados en cada muestra que tienen menos de

40

años de edad

({\hat{p}}_{M} - {\hat{p}}_{D})

Los directivos de la empresa se preguntan qué tan probable es que la diferencia entre las dos muestras sea mayor que

10

puntos porcentuales.

Pregunta 2.1

¿Por qué es inapropiado usar una distribución normal para calcular esta probabilidad?

(Elección A)
Estamos muestreando más del $10 %$ ‍ de cada población, de modo que no conocemos la desviación estándar de la distribución muestral
(Elección B)
Estamos muestreando menos del $10 %$ ‍ de cada población, así que la distribución muestral no se distribuye de manera aproximadamente normal
(Elección C)
Esperamos menos de $10$ ‍ "fracasos" en cada muestra, de modo que no conocemos la desviación estándar de la distribución muestral
(Elección D)
Esperamos menos de $10$ ‍ "fracasos" en cada muestra, de modo que la distribución muestral no se distribuye de manera aproximadamente normal

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