Ejemplo resuelto: longitud de arco de una curva parametrizada

digamos que x es una función del parámetro tema y que es igual al coseno de t y que también es una función de t y es igual a la función seno de temp y lo que queremos hacer es encontrar la longitud de arco que tras la curva desde t igual a 0 hasta que igual a pi medios la longitud de arco que tras la curva desde t igual a cero hasta t igual a pri medios así que pausa el vídeo y ve si puedes encontrar esta longitud de arco basándote en las fórmulas que hemos visto en los vídeos pasados bien primero voy a pensar en la fórmula y después lo voy a graficar para que podamos ver que el resultado en efecto es el que obtenemos de la fórmula así que la fórmula que tenemos nos dice que la longitud de arco la longitud de arco dada por una curva paramétrica es igual a la integral definida desde t igual hasta igual a b desde el punto inicial de nuestro parámetro hasta el punto final de nuestro parámetro de la raíz cuadrada de quien de x prima de t esto elevado al cuadrado más que prima de tema esto elevado al cuadrado y a esto lo multiplicamos por dt y bueno esto también se puede escribir como la integral definida desde a avn ok de la raíz cuadrada de la derivada de x con respecto al tiempo al cuadrado más la derivada de ye con respecto a t al cuadrado y esto multiplicarlo por de tema pero en cualquiera de ambas podemos aplicar este contexto bien primero pensamos que no es la derivada de x con respecto a t bueno la derivada de exxon respecto al tema es la derivada del coste no de tema con respecto al tema lo cual es el menos seno de t perfecto y ahora tienes la derivada de kiev con respecto a t bueno la derivada de ye con respecto a tm es la derivada del seno de temps que es el coseno de t entonces la longitud de arco que buscamos va a ser igual a la integral definida de 0 a pi medios de la raíz cuadrada de que bueno de el menos seno de tema pero aquí me queda esto elevado al cuadrado entonces simplemente es el seno cuadrado de t más el cos en un cuadrado de t esto por dt y ahora para nuestra suerte sabemos que el seno cuadrado dt más el coste no cuadrado de t es igual a 1 esta es una de nuestras identidades trigonométricas más importantes que salen de la definición del círculo unitario del seno y del coseno así que tengo la raíz principal de bueno simplemente 1 lo cual va a ser uno hace que todo esto se simplifica solamente a la integral de 0 a pi medios de dt y bueno esto lo puedes ver simplemente como la anti derivada de 1 si ponemos un 1 aquí y me quedaría la anti derivada con respecto a td1 lo cual es simplemente t ok esto evaluado de pi medios a 0 entonces vamos a hacer la evaluación en prime dios y a eso le vamos a restar la evaluación en 0 por lo que simplemente nos quedan primeros menos 0 lo cual es y medios bien ahora veamos por qué este resultado que nos dio tiene sentido para eso vamos a graficar esta curva este es mi eje bien este es mi eje x y cuánto te es igual a cero tenemos el punto coseno de cero lo cual es 1 entonces x es igual a 1 y ya es el seno de 0 lo cual es 0 entonces que es 0 así que estamos en este punto de aquí ente igual a 0 y si te crece hasta pi medios entonces tendremos la primera mitad de la parte de arriba del círculo unitario y terminaríamos aquí ente igual a pear medios podemos verte como un cierto ángulo en radiales así que la longitud de arco va a ser simplemente la longitud que hay en un cuarto de círculo y nosotros ya sabemos cuánto vale el perímetro de una circunferencia es 2 por el radio pero en el círculo unitario el radio es igual a 1 entonces la circunferencia de todo el círculo unitario es de 2 espn y un cuarto de eso va a ser simplemente pi medios de esta manera llegamos al mismo resultado así que se ve muy elegante en que todo esto que construimos en cálculo es consistente con lo que aprendimos en geometría básica hasta la próxima