Integrales indefinidas: sumas y múltiplos

aquí hemos escrito dos propiedades importantes de las integrales indefinidas y en el futuro veremos que son muy útiles lo que esto nos dice es que la integral indefinida de la suma de dos funciones diferentes es igual a la suma de la integral indefinida de cada una de las funciones por separado esto otro nos dice que la integral indefinida de una constante esto no es una función de x que multiplica a efe x es igual a esa constante que multiplica a la integral indefinida de fx podemos ver esto como que sacamos la constante de la integral en próximos vídeos veremos que los dos son muy útiles si ustedes están de acuerdo con lo que está aquí escrito está bien pero si quieren comprobarlo pueden calcular la derivada de ambos lados de la igualdad y usar las propiedades de las derivadas para mostrar que sus derivadas son iguales vamos a hacerlo lo que voy a hacer aquí para argumentar que esto es verdadero es usar las propiedades de las derivadas y aplicarlas en ambos lados para y mostrar que la cualidad se mantiene cuando nos deshacemos de ambas integrales calculemos la derivada con respecto a x de este lado y de este otro lado del lado izquierdo nos queda lo que está dentro de la integral indefinida efe x + gx a que será igual el lado derecho veamos nuestras propiedades de las derivadas la derivada de la suma de dos términos es lo mismo que la suma de las derivadas de cada término así que tenemos la derivada con respecto a x de este primer término más la derivada con respecto a x de este segundo término esta primera parte es la integral de fx de x más esta otra parte es la integral de gx de x akiba fx y acaba de x aquí será igual esto ponemos los signos de igual y la derivada de esto con respecto a x va a ser f x y la derivada de esto otro con respecto a x es gd x es verdadero ahora veamos esta otra propiedad hagamos lo mismo calculemos la derivada en ambos lados la derivada con respecto a x de esto y la derivada con respecto a x de esto otro del lado izquierdo claramente nos queda c por fx en el lado derecho aplicamos las propiedades de las derivadas y sabemos que la derivada de una constante por algo es lo mismo que la constante por la derivada de ese algo así que tenemos la derivada con respecto a x de la integral indefinida de fx de x todo esto va a ser igual a c por fx nuevamente pueden ver que la cualidad se mantiene espero que con esto ustedes se convenzan de que las propiedades son verdaderas pero lo más importante es saber cuándo aplicarlas por ejemplo si tengo la integral indefinida de x cuadrada + coseno de x podemos decir que esto es lo mismo que la integral indefinida de x al cuadrado de x más la integral indefinida de coseno de x escribimos esto y escribimos esto otro de manera que podemos evaluarlos por separado esto otro es útil porque si queremos encontrar la integral de pi por seno de x de x podemos quitar esta constante de la integral porque no depende de x y se va a mantener igual esto va a ser igual a pi por la integral de seno de x de x son dos propiedades muy útiles y con esto terminamos