Más sustitución trigonométrica con la función tangente

digamos que tenemos la integral indefinida de 1 sobre un 36 más x xi más x cuadrada dx y bueno como puedes ver esta integral no es fácil no tengo ahorita una anti derivada a la mano que a que yo pueda hacer sustitución y de una manera rápida también sería deseable tener un 2 x en algún lugar para hacer sustitución pero no la tengo así que recurriremos a las identidades trigonométricas y una manera de ver esto y de hecho así es como funciona mi mente es observar que esto es una constante + x cuadrada pero me gustaría verlo como uno más algo al cuadrado y ver qué función trigonométricas puedo utilizar así que voy a reescribir esto como la integral indefinida voy a poner de x en el numerador sobre la pintar este sea la integral de de x que está dividido entre 36 que está multiplicando a 1 más x cuadrado entre 36 que es otra forma de escribir la integral y ahora pensemos en las identidades trigonométricas en una que podamos sustituir exactamente aquí y que de alguna manera no simplifique el trabajo y la que me viene a la mente es la que dice que uno más tangente cuadrado de teta pero escribirlo uno más la tangente cuadrada de teta pero primero quiero desarrollar esto y la tangente cuadrado de teta la puedo reescribir como uno más el seno cuadrado de t está entre el coseno cuadrado de teta y ahora el 1 es simplemente coseno cuadrado entre coseno cuadrado de teta así que voy a reescribir esto como el coseno cuadrado de theta que está dividido entre el coseno cuadrado de teta esto es uno más el seno cuadrado de teta y seno cuadrado de teta más coseno cuadrado de teta es igual a 1 por la definición del círculo unitario así que esto será uno sobre el coseno cuadrado de teta y uno sobre el coseno cuadrado de teta es la secante cuadrada de teta y si ahora hacemos la sustitución lo que queremos hacer es que esta expresión que esté aquí sea igual a 1 + tangente cuadrada de teta esta expresión será uno más la tangente cuadrada de teta que finalmente va a ser la secante cuadrada de teta y va a ser muy útil por lo que ahora diremos que x cuadrada sobre 36 va a ser igual a la tangente cuadrada de theta si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados nos va a quedar que x sobre 6 es igual a la tangente de theta por lo que x es igual a 6 veces la tangente de teta ahora vamos a tomar la derivada en ambos lados con respecto a theta tenemos de x con respecto a de teta es igual a pero cuál es la derivada de la tangente de teta y déjame hacerla para ti porque no recuerdo bien si lo he hecho en los vídeos del sitio así que a ver vamos a hacerla por la causa esto será 6 veces la derivada de la tangente de teta con respecto a de teta que es la que vamos a encontrar ahorita que entonces será lo mismo que escribir en la derivada con respecto a teta de el seno de teta entre el coseno de teta y esto va a ser igual a la derivada con respecto a teta de haber déjame acomodo un poco también te he comentado que no me acuerdo mucho de las derivadas de los cocientes así que lo voy a escribir como el seno de teta multiplicado por el cose no detecta a la menos uno y esto a que será igual pues bueno será igual a la derivada de la primera función ésta que está aquí que seno de teta y su derivada de estos seno de teta ya que como coseno de teta multiplicado por la segunda expresión si la que está aquí o sea que es x coseno de teta la menos uno mira observa que puse el menos uno entre paréntesis para no confundirnos con el inverso del cose no detecta es coseno de teta y ahora le voy a sumar la derivada de coseno de tétano más bienes cosenos de tala menos 1 entonces esto sería menos 1 por coseno de teta al menos 2 tenemos que hacer la derivada de lo que tenemos afuera x lo que tenemos adentro ósea es lo mismo que tener x a la menos 1 que se deriva como menos una vez x a la menos 2 de crem en tanto el exponente y me falta multiplicarlo por la derivada de lo que está dentro que la derivada de coseno de teta que es menos seno de teta y todo esto lo voy a multiplicar por seno de teta esto es la derivada de esto que tenemos aquí que es todo lo que está en verde multiplicado por la primera expresión sigamos coseno de teta / coseno de teta esto es igual a 1 y aquí tengo un -1 y aquí tengo un menos seno de tetas así que esto me va a quedar en un signo más y tenemos seno de teta por seno de teta o sea seno cuadrado de t está dividido entre coseno cuadrado de teta y esto que es igual pues a 1 más la tangente cuadrada de teta y uno más está tangente cuadrado de teta ya habíamos visto que es la secante cuadrado de teta a gusto cuando las cosas empiezan a simplificarse así que regresemos y tenemos que esto es igual la secante cuadrada de teta y si ahora queremos saber tx a que es igual entonces de x será seis veces la secante cuadrada de teta de teta así es como queda de equis pero en el futuro vamos a querer regresar y saberlo en términos de teta quienes teta y esto es muy simple porque tomaremos la arco tangente en ambos lados o sea la arco tangente de x sobre 6 va a ser igual a teta y vamos a dejar aquí este resultado veamos cómo quedó nuestra integral ahora entonces nos queda la integral de de x pero quién es de x ahora pues es 6 la secante cuadrada de teta de t está dividido entre lo que está aquí que es 36 veces uno más la tangente cuadrada de teta ahora sabemos que esto que está aquí es igual a la secante cuadrada de theta ya lo vimos varias veces entonces tenemos secante cuadrada de teta en el numerador y en el denominador y entonces este cancela al que está aquí abajo y por suerte para nosotros ahora esto lo vamos a escribir como la integral de 6 sobre 36 es un sexto de de teta o sea que tenemos un sexto de teta más una constante y sustituyendo otra vez utilizando el resultado que tenemos aquí que teta es igual al arco tangente de x sobre 6 podemos encontrar que la integral de 1 sobre 36 más x al cuadrado es igual a un sexto del arco tangente de x sobre 6 más una constante y con esto hemos terminado