Convergencia condicional y absoluta

en el vídeo donde hicimos la introducción a las series alternantes usamos la serie que estaba dada por la suma desde uno hasta infinito de menos uno elevado a la n-1 verdad dividido entre n verdad y si uno quiere nada más dar más o menos una idea de cuál es esta serie pues el primer término sería uno verdad cuando n vale uno sería menos uno al cuadrado que es uno dividido entre uno es uno menos verdad porque va alternando el signo uno entre dos más uno entre tres menos uno entre cuatro y así sucesivamente seguimos sumando términos que van alternando el signo verdad entonces usando el criterio para series alternantes vimos que esta serie converge en esta serie que converge y de hecho podemos decir que es debido a criterio de series alternantes de series alternantes esta es la justificación por la cual podemos decir que esta serie converge verdad pero ahora vamos vamos a repasar qué pasaría si nosotros ponemos un valor absoluto en estos términos y por supuesto si a lo mejor no te acuerdas de por qué esta serie con bergé o que es el criterio de las series alternantes sería recomendable que lo puedas repasar en los vídeos anteriores muy bien entonces vamos a ver qué pasa si nosotros ponemos un valor absoluto a cada uno de estos términos es decir vamos a poner el valor absoluto de menos uno a la n 1 dividido entre n verdad y esto pues simplemente será la suma desde n igual a 1 hasta infinito y por supuesto sería el valor absoluto de lo de arriba entre el valor absoluto de lo de abajo pero arriba tendríamos 1 y abajo se queda como n verdad entonces tenemos estas desde uno hasta infinito de uno en tren y esta es la muy famosa serie armónica verdad que de hecho también en otro vídeo aquí en can academy vimos que diverge y si te interesa saber por qué pues puedes buscarlo en nuestras listas de vídeos verdad esto simplemente lo podemos ver como uno más un medio más un tercio etcétera verdad y seguimos sumando por siempre entonces lo que podemos garantizar es que esta serie diverge muy bien entonces aquí tenemos algo muy peculiar la serie original converge sin embargo con el valor absoluto divergen entonces cuando tenemos una serie tal que a los términos digamos los calculamos con valor absoluto si esa nueva serie diverge decimos que la serie original convergen condicionalmente ok cuando una serie converge condicionalmente es porque esa serie converge pero la serie de sus valores absolutos divergen muy bien entonces ahora podríamos ver un caso contrario el caso contrario se le va a decir que converge absolutamente por ejemplo consideremos es la suma desde n igual a 1 hasta infinito de menos un medio elevado a la n 1 verdad entonces esta serie es una serie geométrica y de hecho en los vídeos de series geométricas como el valor absoluto de la razón como uno de la proporción común es menor que 1 entonces podemos garantizar que esta serie converge muy bien esta serie converge ahora bien qué pasaría si nosotros calculamos esta serie pero con los términos tomados con valor absoluto es decir tenemos el valor absoluto de menos un medio + 1 verdad entonces esto simplemente será la serie desde el 1 hasta infinito de un medio elevado a la n 1 entonces esto nuevamente vuelve a ser una serie geométrica donde la proporción como uno la razón común es menor que uno verdad o su valor absoluto es menor que uno entonces ésta también converge muy bien entonces contrario al caso que teníamos anteriormente aquí en la serie de los términos con valor absoluto también convergen entonces decimos que la original converge absolutamente y puedes pensar que convergen absolutamente justamente que vienen a lo mejor de el valor absoluto verdad entonces lo que hemos estado haciendo en todos estos vídeos es hablar de convergencia y divergencia ahora no sólo eso sino que también estamos hablando de un nuevo tipo de convergencia es así que podríamos pensar que hay como dos sabores de convergencia y distintos tipos de convergencia así que uno puede preguntarse si la serie converge de alguna forma sí sí converge pero la serie de sus valores absolutos no convergen entonces decimos que converge condicionalmente por otro lado si la serie se converge y también la serie de los valores absolutos entonces decimos que la serie convergen absolutamente espero que este vídeo te haya parecido interesante