Ejemplo resuelto: serie alternante

muestra todos los valores positivos de penn para los cuales la serie convergente y tenemos esta serie de aquí en la suma desde en igual a 1 hasta infinito de menos 1 elevado a la n 1 que multiplican ap / 6 elevado a la n ahora hay varias cosas por aquí que debes de notar en primer lugar tengo este menos 1 elevado a la n 1 y sin n va de 1 a 2 a 3 a 4 esté menos 1 elevado a la n 1 lo que va a hacer es alternar se entre menos uno y uno menos uno y uno entonces vamos a tener que los signos se alternan y esto va a ser la clave para que lleguemos a la respuesta es más vamos a escribirlo esto va a ser igual a 100 es igual a 1 me queda esto elevado al cuadrado entonces sería positivo y aquí me quedarían pm entre 6 elevado a la primera potencia de entre 6 elevado a la primera potencia ahora si n vale 2 aquí me queda el cubo entonces sería p / 6 elevado a la segunda potencia ok y si n vale 3 esto es par por lo tanto me quedara positivo positivo y después me quedan p entre 6 elevado a la tercera potencia sin n vale 4 esto es impar entonces me quedan signo negativo y me quedarían p entre 6 esto elevado a la cuarta potencia y así nos vamos a mantener sumando y restando etcétera así para siempre así que claramente esto sería una clásica serie que se va alternando y con esto podemos aplicar el criterio de la serie alternante y el criterio de las series alternantes nos dice lo siguiente primero observamos la parte que no alterna que es esta parte de acá si esta parte de acá cumple dos condiciones déjame ponerlo aquí sí entre 6 y elevado a la en la parte que no alterna cumple que es en primer lugar que es monótona mente decreciente monótonamente decreciente que esencialmente es una forma elegante de decir que cada término consecutivo es menor que la anterior y por otra parte el límite cuando n tiende a infinito de la parte que no alternando pp entre 6 elevado a la n esto es igual a cero si cumple estas dos condiciones entonces la serie converge así que bajo qué condiciones estas dos eran ciertas bueno para cumplir ambas condiciones pe / 6 tiene que ser menor que 1 porque si pe entre 6 fuera igual a 1 entonces esto no sería monótonamente decreciente porque cada término sería 11 ha elevado a la primera potencia menos 1 elevado al cuadrado más uno elevado al cubo etcétera y si fuera mayor que 6 entonces cada vez que multiplicamos por p entre 6 obtendremos un número más grande tendremos un número uno más grande uno más más grande uno más más más más grande y después otro y otro y otro y por lo tanto el límite tenlo por seguro que no sería igual a cero entonces en definitiva tenemos que decir que p entre 6 tiene que ser menor que 1 o dicho otra manera tiene que ser menor que 6 para que esto ocurra y además nos dicen que mostremos todos los valores positivos de p por lo tanto pp en definitiva tiene que ser mayor que 0 entonces mayor que 0 y menor que 6 es justa esta opción que tengo aquí esta es mi opción correcta y acabamos observa no puede ser igual a 6 recuerda porque si p es menor o igual a 6 en el caso en el que sea igual entonces de nuevo tendremos que esta serie cada término sería uno elevado a la n y entonces tendríamos uno en menos uno más uno menos uno etcétera y así para siempre entonces esta es mi respuesta correcta