Ejemplo resuelto: intervalo de convergencia

aquí tenemos una serie infinita y la meta de este vídeo es tratar de encontrar el intervalo de convergencia de esta serie esta es otra forma de decir que el rango de valores de x va a converger esta serie y como siempre los invito a que pausa en el vídeo y traten de resolver esto por su cuenta sirve en esta serie pues no coincide exactamente con una serie geométrica o con una serie alternante cuando veo algo así pienso en el criterio de la razón ya que tiende a ser bastante general y para aplicar el criterio de la razón queremos pensar en el límite cuando n tiende al infinito del término n 1 dividido entre el enésimo término el valor absoluto de esto sí esto es menor que 1 entonces va a converger y los valores de x que hagan que esto sea mayor que 1 entonces esto divergen y para los valores de x que hagan que esto sea igual a 1 pues entonces no tendremos una respuesta no sabremos si esto converge o diverge por lo que tendremos que usar otras técnicas para saber si esto converge o divergen pensemos en esto vamos a evaluarlo el límite cuando n tiende al infinito del valor absoluto de a su n 1 esto va a ser x a la n 1 entre n 1 x 5 a la n 1 y esto lo vamos a dividir entre a subíndice n que corresponde a x a la n entre n por 5 a la n tomamos el valor absoluto de todo esto vamos a simplificar esto aquí abajo esto es x a la n 1 entre el 1 por 5 a la n 1 que multiplica al recíproco de esto que es n por 5 a la n entre x a la n esto lo podemos simplificar de la siguiente manera dividimos el numerador entre x a la n y nos queda x y dividimos numerador y denominador entre 5 a la n esto es 1 esto es y esto va a ser 5 a la n 1 entre 5 a la n va a ser igual a 5 y nos queda x por n entre distribuimos a este 5 y nos queda 5 n 5 ahora reescribimos esto va a ser igual al límite cuando n tiende a infinito de el valor absoluto de esto de aquí y para ayudarnos a calcular este límite vamos a dividir el numerador y el denominador entre m no estoy cambiando el valor ya que estoy haciendo lo mismo con el numerador y el denominador los dividimos entre el mismo valor si / numerador y denominador entre n esto va a ser lo mismo que x entre 5 + 5 entre m y cuando divido el numerador y el denominador entre n es bastante obvio que sucede cuando n tiende al infinito cuando n se aproxima al infinito x no va a cambiar 5 no va a cambiar pero 5 entre m tiende a 0 así que este límite va a ser igual a x entre 5 nos quedó algo bastante sencillo y ahora vamos a usar esto el valor absoluto de x entre 5 y vamos a analizar bajo qué condiciones el valor absoluto de x entre 5 es menor a 1 en donde definitivamente va a converger bajo qué condiciones será mayor que 1 en donde definitivamente diverge y bajo qué condiciones no vamos a saber si convergió divergen veamos bajo qué condiciones va a converger para que valores de x el valor absoluto de x entre 5 va a ser menor que 1 que es nuestra situación de convergencia esto es lo mismo que decir que menos 1 es menor que x entre 5 y que a su vez éste sea menor a 1 multiplicamos todos los lados por 5 y nos queda menos 5 menor que x y x menor que 5 sabemos que si esto se cumple esto definitivamente va a ser parte de nuestro intervalo de convergencia si nuestra x está dentro de este rango nuestra serie va a converger pero aún no terminamos tenemos que ver el caso en el que no tenemos respuesta pensemos en el escenario en el que el valor absoluto de x entre 5 es igual a 1 otra forma de pensar en esto es decir que x entre 5 es igual a 1 o que x entre 5 es igual a menos 1 lo que significa que x es igual a 5 o x es igual a menos 5 estos son los dos casos en los que no sabemos si converge o diverge vamos a probarlos individualmente usando los en nuestra serie usando x igual a 5 y x men o 5 en el primer escenario cuando x es igual a 5 nuestra serie va a ser la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de 5 a la n entre n por 5 a la n esto va a ser igual a la suma desde que me es igual a 1 hasta infinito de 1 entre n y esta es una serie armónica es la serie p en donde p es igual a 1 y sabemos que de la serie es p si p es igual a 1 esto bergé lo vimos en el vídeo de series armónicas esto definitivamente divergen y esto lo pueden probar con el criterio de la convergencia de las series p y si la p es igual a 1 para estas series p va a divergen así que 5 definitivamente no es parte de nuestro intervalo de convergencia ahora veamos qué pasa cuando x es igual a menos cinco cuando x es igual a menos 5 esto va a ser igual a la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de menos 5 a la n entre n por 5 a la n esto es igual a la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito y esto podemos escribirlo como menos 1 a la n por 5 a la n entre n por 5 a la n esto se cancela y nos queda una serie alternante y quizás sepan que esto convergen o pueden usar el criterio de las series alternantes y este criterio de las series alternantes en este criterio si vemos que esto se decremento a mono tónica y el límite cuando n se aproxima al infinito es 0 esto va a converger las series armónicas alternantes convergen y ya que esto convergen podemos incluirlo en nuestro límite aquí en nuestro intervalo de convergencia así que x no tiene que ser estrictamente mayor que menos 5 puede ser mayor o igual que menos 5 pero tiene que ser menor que 5 y así encontramos nuestro intervalo de convergencia